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Séries de Fourier 35
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Analyse dans
R
n
2. Série de Fourier d'une fonction
Soit f est une fonction T-périodique, continue par morceaux.
2.1 Coefficients de Fourier
• Forme réelle (n ∈ N)
a n =
2
T
α+T
α
f (t) cos nωt dt ; b n =
2
T
α+T
α
f (t) sin nωt dt .
• Forme complexe (n ∈ Z)
c n =
1
T
α+T
α
e
−inωt f (t) dt .
• Passage des coefficients complexes aux coefficients réels
a n = c n + c −n
pour n 0
b n = i (c n − c −n ) pour n 1
• Passage des coefficients réels aux coefficients complexes
c 0 =
a 0
2
et pour n 1 : c n =
a n − i b n
2
; c −n =
a n + i b n
2
·
2.2 Série de Fourier d'une fonction périodique
On associe à f une série qui, lorsqu'elle converge, définit une fonction S
périodique de période T.
• Forme réelle
S(t) =
a 0
2
+
∞
n=1
a n cos nωt + b n sin nωt .
• Forme complexe
S(t) =
+∞
−∞
c n e
inωt .
2.3 Propriétés
• Parité
Si f est une fonction paire, pour tout n on a b n = 0, soit c n = c −n . Si f est
une fonction impaire, pour tout n on a a n = 0, soit c n = −c −n .
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