• Coefficients de Fourier d'une dérivée
Si f est continue et C
1 par morceaux, les coefficients de Fourier de f et f
sont
reliés par :
Forme complexe :
∀n ∈ Z
c n ( f
) = i n ω c n ( f ) ;
Forme réelle :
∀n ∈ N
∗
a n ( f
) = n ω b n ( f )
et b n ( f
) = −n ω a n ( f ) .
3. Convergence de la série de Fourier d'une fonction
3.1 Fonction C
1 par morceaux
On dit que f est C
1 par morceaux sur le segment [a,b] s'il existe une subdivision
a 0 = a < a 1 < · · · < a p = b telle que :
• f soit définie, continue, dérivable et à dérivée continue dans chaque intervalle
]a i ,a i+1 [ (i = 0,. . . ,p − 1) ,
• f (t) et f
(t) possèdent une limite en chaque extrémité de ces intervalles.
3.2 Théorème de Dirichlet
Si f est périodique de période T et est C
1 par morceaux sur tout un segment de
longueur T, alors la série de Fourier de f est convergente et sa somme S vérifie :
∀t ∈ R
S(t) =
f (t + ) + f (t − )
2
·
De plus, la convergence est normale (donc uniforme) sur tout segment où la fonction est continue, ou sur R si f est continue sur R.
Remarquez que si f est continue en t, alors S(t) = f (t).
3.3 Formule de Parseval
Si f est continue par morceaux sur un segment de longueur T on a la relation suivante reliant l'énergie de f et les énergies des termes de sa série de Fourier :
1
T
α+T
α
[ f (t)]
2 dt =
a 0
2
2 +
1
2
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
=
+∞
−∞
|c n |
2 .
Séries de Fourier
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