1. Fonctions périodiques
1.1 Définition
Soit f une fonction définie sur R et à valeurs réelles ou complexes. Un nombre
T > 0 est une période de f si :
∀t ∈ R
f (t + T ) = f (t) .
Le plus petit nombre T vérifiant la propriété est la période de f.
On dit aussi que f est T-périodique.
Une fonction T-périodique est entièrement déterminée par sa restriction à un intervalle de longueur T.
1.2 Propriétés
• L'intégrale d'une fonction continue de période T, sur un intervalle de longueur
T, est indépendante des bornes, soit par exemple :
α+T
α
f (t) dt =
T
0
f (t) dt =
T
2
− T
2
f (t) dt .
• Si f est dérivable, de période T, alors f
est aussi périodique de période T.
1.3 Vocabulaire de la physique
f étant T-périodique, le nombre ν =
1
T
est la fréquence et le nombre ω =
2π
T
la
pulsation.
On appelle énergie moyenne de f sur une période le nombre :
1
T
α+T
α
| f (t)|
2 dt .
Sa racine carrée est appelée valeur efficace de f.
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2 e année
Séries de Fourier
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