3.3 Condition suffisante
Si f est indéfiniment dérivable dans l'intervalle I défini par |x − x 0 | < R et s'il
existe une constante M > 0 telle que :
∀n ∈ N ∀x ∈ I
| f
(n)
(x)| M
alors f est analytique en x 0 .
3.4 Développements de base
e
x
=
+∞
n=0
x
n
n!
R = +∞
cos x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
R = +∞
ch x =
+∞
n=0
x
2n
(2n)!
R = +∞
sin x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
R = +∞
sh x =
+∞
n=0
x
2n+1
(2n + 1)!
R = +∞
1
1 − x
=
+∞
n=0
x
n
R = 1
ln (1 + x) =
+∞
n=0
(−1)
n x
n+1
n + 1
R = 1
arctan x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
R = 1
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Séries entières 34
111
Analyse dans
R
n
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