x
0
f (t) dt =
+∞
n=0
a n
x
n+1
n + 1
·
La série entière ainsi obtenue par intégration terme à terme a le même rayon de
convergence que la série initiale.
3. Développement d'une fonction en série entière
3.1 Série entière associée à une fonction
Soit f une fonction d'une variable réelle, définie sur un intervalle ouvert U contenant l'origine.
On dit que f est développable en série entière s'il existe une série entière de rayon
de convergence R = / 0 telle que :
∀x ∈] − R,R[ ∩ U
f(x) =
+∞
n=0
a n x
n .
On dit aussi que f est analytique en 0.
3.2 Condition nécessaire
Si f est développable en série entière avec f (x) =
+∞
n=0
a n x
n , alors f est indéfiniment dérivable et a n =
f
(n)
(0)
n!
·
Donc, si le développement en série entière de f existe, il est unique.
La série
+∞
n=0
f
(n)
(0)
n!
x
n est la série de Taylor de f en 0.
Plus généralement, f est analytique en x 0 s'il existe un intervalle ouvert contenant
x 0 dans lequel la somme de sa série de Taylor en x 0 est égale à f (x) , ce qui signifie qu'il existe R > 0 tel que :
f (x) =
+∞
n=0
f
(n)
(x 0 )
n!
(x − x 0 )
n
pour |x − x 0 | < R .
Attention, il peut arriver que f soit indéfiniment dérivable au voisinage de 0 et que sa série de Taylor diverge pour tout x = / 0, ou qu'elle converge et que sa somme soit différente de f (x) .
Séries entières
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0
f (t) dt =
+∞
n=0
a n
x
n+1
n + 1
·
La série entière ainsi obtenue par intégration terme à terme a le même rayon de
convergence que la série initiale.
3. Développement d'une fonction en série entière
3.1 Série entière associée à une fonction
Soit f une fonction d'une variable réelle, définie sur un intervalle ouvert U contenant l'origine.
On dit que f est développable en série entière s'il existe une série entière de rayon
de convergence R = / 0 telle que :
∀x ∈] − R,R[ ∩ U
f(x) =
+∞
n=0
a n x
n .
On dit aussi que f est analytique en 0.
3.2 Condition nécessaire
Si f est développable en série entière avec f (x) =
+∞
n=0
a n x
n , alors f est indéfiniment dérivable et a n =
f
(n)
(0)
n!
·
Donc, si le développement en série entière de f existe, il est unique.
La série
+∞
n=0
f
(n)
(0)
n!
x
n est la série de Taylor de f en 0.
Plus généralement, f est analytique en x 0 s'il existe un intervalle ouvert contenant
x 0 dans lequel la somme de sa série de Taylor en x 0 est égale à f (x) , ce qui signifie qu'il existe R > 0 tel que :
f (x) =
+∞
n=0
f
(n)
(x 0 )
n!
(x − x 0 )
n
pour |x − x 0 | < R .
Attention, il peut arriver que f soit indéfiniment dérivable au voisinage de 0 et que sa série de Taylor diverge pour tout x = / 0, ou qu'elle converge et que sa somme soit différente de f (x) .
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