• Produit
Si l'on pose :
c n = a 0 b n + a 1 b n−1 + · · · + a n b 0 =
n
k=0
a k b n−k
la série entière
+∞
n=0
c n z
n a pour somme f (z)g(z) ; son rayon de convergence R est
tel que R min(R 1 ,R 2 ) .
1.7 Continuité
Soit
+∞
n=0
a n z
n une série entière de rayon de convergence R = / 0 et de somme f (z) .
La fonction f est continue sur son disque de convergence (cas complexe) ou son
intervalle de convergence (cas réel).
2. Série entière d'une variable réelle
2.1 Dérivation
Si la série entière f (x) =
+∞
n=0
a n x
n a pour rayon de convergence R = / 0, alors f
est dérivable dans ] − R,R[ et l'on a :
f
(x) =
+∞
n=1
n a n x
n−1 .
Il en résulte que f est indéfiniment dérivable sur ] − R,R[ .
Une série entière et sa série dérivée ont même rayon de convergence. Mais, sur le bord de l'intervalle de convergence, les deux séries
ne sont pas toujours de même nature.
2.2 Intégration
Si la série entière f (x) =
+∞
n=0
a n x
n a pour rayon de convergence R = / 0, pour
tout x ∈] − R,R[ on a :
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Séries entières 34
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Analyse dans
R
n
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