• On détermine souvent R à partir de la règle de d'Alembert.
Si lim
n→+∞
|u n+1 (z)|
|u n (z)|
= l |z|
k , en écrivant :
l |z|
k
< 1 ⇐⇒ |z| <
k
1
l
on obtient R =
k
1
l
·
Cette méthode suppose l'existence d'une limite, ce qui n'est pas toujours le cas.
1.5 Mode de convergence
• La série
+∞
n=0
a n z
n de rayon de convergence R converge absolument dans l'intervalle (ouvert) de convergence ] − R,R[ dans le cas réel ; dans le disque (ouvert)
de convergence B(0,R) dans le cas complexe.
Pour |z| > R, la série diverge.
Si |z| = R, il n'y a pas de résultat général.
• La convergence est normale, donc uniforme, sur tout compact inclus dans le
disque (ou l'intervalle) de convergence.
1.6 Opérations algébriques
Soit
+∞
n=0
a n z
n et
+∞
n=0
b n z
n deux séries entières, de rayons de convergence respectifs R 1 et R 2 , et de sommes respectives f (z) et g(z).
• Linéarité
Pour tous α ∈ R et β ∈ R, la série entière
+∞
n=0
(α a n + β b n ) z
n a pour somme
α f (z) + βg(z) ; son rayon de convergence R est tel que :
R = min(R 1 ,R 2 ) si R 1 = / R 2
R R 1
si R 1 = R 2
Séries entières
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