1. Convergence d'une série entière
1.1 Série entière
Une série entière est une série de fonctions de la forme :
+∞
n=0
u n (z)
avec u n (z) = a n z
n
où z est la variable réelle ou complexe et les a n des constantes réelles ou complexes.
1.2 Lemme d'Abel
Si la suite
|a n | r
n
est bornée, alors la série
+∞
n=0
a n z
n converge absolument pour
tout z tel que |z| < r.
1.3 Rayon de convergence
Si
+∞
n=0
a n z
n est une série entière, elle vérifie une, et une seule, des trois propriétés :
• la série converge uniquement pour z = 0 ;
• il existe un nombre réel R > 0 tel que la série converge absolument pour tout z
tel que |z| < R, et diverge pour tout z tel que |z| > R ;
• La série converge absolument pour tout z .
Le nombre R du deuxième cas est appelé rayon de convergence de la série entière.
Dans le premier cas, le rayon de convergence est nul.
Dans le troisième cas, on dit que le rayon de convergence est infini.
1.4 Détermination du rayon de convergence
• Le nombre R est la borne supérieure des ensembles :
{r ∈ R + ;
+∞
n=0
a n r
n converge} ; {r ∈ R + ; |a n | r
n borné}
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Analyse dans
R
n
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Séries entières
2 e année
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