La recherche de a n peut se faire par majoration ou en étudiant les
variations de u n .
3.3 Théorème
La convergence normale de
n
u n entraîne la convergence uniforme de
n
u n et,
pour tout x ∈ I, la convergence absolue de
n
u n (x) .
Si vous êtes optimiste, pour étudier le mode de convergence d'une
série de fonctions, commencez par la convergence normale sur I , ou
sur tout segment de I .
C'est souvent facile à faire, et, si ça marche, c'est un mode de convergence qui entraîne tous les autres.
4. Propriétés
Pour une série
n
u n qui converge uniformément (normalement entraîne cette
condition) sur I , les théorèmes sur les suites de fonctions conduisent à :
4.1 Continuité
Si les u n sont continues sur I , alors la somme S est continue sur I .
4.2 Intégration
Si les u n sont continues dans I et si
n
u n converge uniformément sur I , alors,
pour tous a et b dans I , on a :
b
a
+∞
k=0
u k (x)
dx =
+∞
k=0
b
a
u k (x) dx
On dit que l'on a intégré terme à terme la série.
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Séries de fonctions 33
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Analyse dans
R
n
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