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2 e année
Séries de fonctions
Soit (u n ) une suite de fonctions définies sur un intervalle I . On considère les
sommes partielles définies par :
S n (x) =
n
k=0
u k (x) .
1. Convergence simple
On dit que la série
n
u n converge simplement sur I si la suite (S n ) converge
simplement et on note :
S(x) =
+∞
k=0
u k (x) = lim
n→+∞
S n (x) .
2. Convergence uniforme
On dit que la série
n
u n converge uniformément sur I si la suite (S n ) converge
uniformément sur I .
3. Convergence normale
3.1 Définition
On dit que la série
n
u n converge normalement sur I si la série des normes
n
u n ∞ converge.
3.2 Condition nécessaire et suffisante
La série
n
u n converge normalement sur I si, et seulement si, il existe une série
numérique à termes positifs a n telle que :
∀n ∈ N ∀x ∈ I |u n (x)| a n
et
+∞
n=0
a n convergente.
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