Il suffit que la convergence soit uniforme sur tout segment inclus dans I , pour que
f soit continue sur I .
1.4 Intégration de la limite
Si la suite ( f n ) converge uniformément vers f sur I , et si chaque f n est continue
sur I , alors pour tous a et b dans I , on a :
b
a
f (t) dt = lim
n→+∞
b
a
f n (t) dt
Si cette égalité n'a pas lieu, alors la convergence n'est pas uniforme.
1.5 Dérivation de la limite
Soit ( f n ) une suite de fonctions de classe C
1 dans I , convergeant en un point
a ∈ I.
Si la suite des dérivées ( f
n ) converge uniformément sur I , alors la suite ( f n )
converge simplement vers une fonction f de classe C
1 dans I qui vérifie :
∀x ∈ I
f
(x) = lim
n→+∞
f
n (x) .
2. Approximations uniformes
• Toute fonction f de [a,b] dans K, continue par morceaux, peut être approximée
uniformément par des fonctions en escalier, c'est-à-dire que, pour tout ε > 0 , il
existe une fonction en escalier ϕ telle que :
f − ϕ ∞ ε .
• Toute fonction f continue de [a,b] dans K, peut être approximée uniformément
par des fonctions polynomiales, c'est-à-dire que, pour tout ε > 0 , il existe une
fonction polynomiale g telle que :
f − g ∞ ε .
• Toute fonction f continue et T-périodique peut être approximée uniformément
par des polynômes trigonométriques de même période, c'est-à-dire des combinaisons linéaires d'expressions de la forme exp
i
2π
T
kx
où k ∈ Z.
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Suites de fonctions 32
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Analyse dans
R
n
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