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2 e année
Suites de fonctions
( f n ) désigne une suite de fonctions f n définies sur un intervalle I de R et à valeurs
dans K = R ou C.
1. Suites de fonctions
( f n ) désigne une suite de fonctions f n définies sur un intervalle I de R et à valeurs
dans K = R ou C.
1.1 Convergence simple
La suite ( f n ) converge simplement sur I vers une fonction f, de I dans K, si :
∀x ∈ I
lim
n→+∞
f n (x) = f (x) .
1.2 Convergence uniforme
f étant la limite simple de la suite ( f n ), on dit que la convergence de ( f n )vers f
est uniforme sur I si :
lim
n→+∞
f n − f ∞ = 0
où f n − f ∞ = sup
x∈I
| f n (x) − f (x)| .
Le nombre f n − f ∞ se calcule souvent avec l'étude des variations
de la fonction f n − f.
Quand ce calcul est trop difficile, cherchez à minorer ou à majorer.
La convergence uniforme de ( f n ) vers f entraîne la convergence simple.
La réciproque est fausse.
1.3 Continuité de la limite
Si la suite ( f n ) converge uniformément vers f sur I , et si chaque f n est continue
sur I , alors f est continue sur I .
Si les f n sont continues sur I , et si f n'est pas continue sur I , alors la
convergence n'est pas uniforme.
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