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Nombres réels 1
5
Analyse dans
R
On définit ainsi la droite numérique achevée dont le plus grand élément est +∞ ,
le plus petit élément −∞ .
Et le théorème précédent se généralise :
Toute partie non vide de R admet une borne supérieure et une borne inférieure
dans R.
4. Approximations décimales
4.1 Valeurs approchées
Soit a ∈ R, b ∈ R, ε > 0 . On dit que b est une valeur approchée de a à ε près si
|a − b| < ε, c'est-à-dire si b ∈]a − ε,a + ε[.
On parle de valeur approchée par excès si b > a et par défaut si b < a.
4.2 Partie entière
Étant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif, noté E(x) ou
[x], tel que E(x) x.
On l'appelle la partie entière de x. On a donc, par définition :
E(x) x < E(x) + 1 .
Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quand x < 0 ; par exemple E(−4,3) = −5.
4.3 Valeurs décimales approchées
Soit x ∈ R et n ∈ N. Il existe un entier d unique tel que
d × 10
−n
x < (d + 1) × 10
−n .
d est la partie entière de 10
n x .
d × 10
−n s'appelle la valeur décimale approchée de x à 10
−n près par défaut,
et (d + 1) × 10
−n celle par excès.
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