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Surveillez votre vocabulaire : un majorant, le plus grand élément.
• Cas particulier des entiers naturels
Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément.
3.2 Borne supérieure, inférieure
• Définitions
La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des
majorants de A.
La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des
minorants de A.
• Caractérisation
M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois :
∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ;
∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant.
m est la borne inférieure de A si, et seulement si, on a, à la fois :
∀x ∈ A m x , c'est-à-dire que m est un minorant ;
∀ε > 0 ∃ x ∈ A x < m + ε, c'est-à-dire que m + ε n'est pas un minorant.
• Remarque
Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A.
Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A.
• Théorème d'existence
Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure
(resp. inférieure).
3.3 Droite numérique achevée
Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés
−∞ et +∞ .
On prolonge à R la relation d'ordre en posant pour tout a ∈ R :
−∞ < a < +∞ .
Nombres réels
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