A k À R k
À
Á
sin θ i ¼ T k sin θ t
ðE:1Þ
A ⊥ þ R ⊥ ¼ T ⊥
ðE:2Þ
1 À δ 1
ð
Þ A ⊥ À R ⊥
ð
Þsin θ i ¼ 1 À δ 2
ð
ÞT ⊥ sin θ t
ðE:3Þ
1 À δ 1
ð
Þ A k þ R k
À
Á ¼ 1 À δ 2
ð
ÞT k
ðE:4Þ
These can be rewritten so that the reflected and transmitted components are
expressed in terms of the incident components:
R k
A k
¼
1 À δ 2
ð
Þsin θ i À 1 À δ 1
ð
Þsin θ t
½
Š
1 À δ 2
ð
Þsin θ i þ 1 À δ 1
ð
Þsin θ t
½
Š
ðE:5Þ
R ⊥
A ⊥
¼
1 À δ 1
ð
Þsin θ i À 1 À δ 2
ð
Þsin θ t
½
Š
1 À δ 1
ð
Þsin θ i þ 1 À δ 2
ð
Þsin θ t
½
Š
ðE:6Þ
T k
A k
¼
2 1 À δ 1
ð
Þsin θ i
½
Š
1 À δ 2
ð
Þsin θ i þ 1 À δ 1
ð
Þsin θ t
½
Š
ðE:7Þ
T ⊥
A ⊥
¼
2 1 À δ 1
ð
Þsin θ i
½
Š
1 À δ 1
ð
Þsin θ i þ 1 À δ 2
ð
Þsin θ t
½
Š
ðE:8Þ
Making use of Snell’s law in terms of glancing angles, we can write everything in
terms of θ i :
cos θ i
cos θ t
¼
1 À δ 2
ð
Þ
1 À δ 1
ð
Þ
ðE:9Þ
This allows us to transform the equations to:
R k
A k
¼
1 À δ 2
ð
Þ
2 sin θ i À 1 À δ 1
ð
Þ 1 À δ 2
ð
Þ
2 À 1 À δ 1
ð
Þ
2 cos
2
θ i
h
i 1=2
1 À δ 2
ð
Þ
2 sin θ i þ 1 À δ 1
ð
Þ 1 À δ 2
ð
Þ
2 À 1 À δ 1
ð
Þ
2 cos 2 θ i
h
i 1=2
ðE:10Þ
R ⊥
A ⊥
¼
1 À δ 1
ð
Þsin θ i À 1 À δ 2
ð
Þ
2 À 1 À δ 1
ð
Þ
2 À cos
2
θ i
h
i 1=2
1 À δ 1
ð
Þsin θ i þ 1 À δ 2
ð
Þ
2 À 1 À δ 2
ð
Þ
2 cos 2 θ i
h
i 1=2
ðE:11Þ
T k
A k
¼
2 1 À δ 1
ð
Þ 1 À δ 2
ð
Þsin θ i
1 À δ 2
ð
Þ
2 sin θ i þ 1 À δ 1
ð
Þ 1 À δ 2
ð
Þ
2 À 1 À δ 1
ð
Þ
2 cos 2 θ i
h
i 1=2
ðE:12Þ
324
Appendix E: X-ray Optics: Fresnel Equations and Stokes Parameters