Comme ces deux réels sont positifs, il suffit de comparer leurs carrés, i.e.
(2n + 3)
2
= 4n
2
+ 12n + 9 et 4(n + 1)(n + 2) = 4n
2
+ 12n + 8.
Il est alors clair que 2n + 3 − 2
√
(n + 1)(n + 2) 0 , d’où :
2n + 3
√
n + 1
2
√
n + 2.
En réduisant au même dénominateur :
2
√
n + 1 +
1
√
n + 1
− 2
√
n + 2 =
2n + 3 − 2
√
(n + 1)(n + 2)
√
n + 1
.
D’autre part
(2n + 3)
2
= 4n
2
+ 12n + 9 4n
2
+ 12n + 8 = 4(n + 1)(n + 2)
donc
2n + 3 2
(n + 1)(n + 2).
Ainsi, 2
√
n + 2 2
√
n + 1 +
1
√
n + 1
u n+1 + 2 , d’où :
2
√
n + 2 − 2 u n+1
ce qui montre que K n+1 est vraie.
D’après le principe de récurrence, K n est donc vraie pour tout n ∈ N ∗ .
2. Comme annoncé nous allons diviser l’encadrement par
√
n pour pouvoir utiliser
le théorème des gendarmes. Il faut néanmoins faire attention à deux choses :
• s’assurer que l’on ne divise pas par 0, ce qui n’aurait aucun sens ;
• connaître le signe de la quantité par laquelle on divise : si elle est négative il faudra renverser le sens des encadrements.
Ici il n’y a aucun problème : n est un entier naturel non nul donc
√
n est bien défini
et strictement positif. Cependant n’oubliez jamais de préciser la raison pour laquelle
vos calculs sont licites, même si ce n’est qu’en quelques mots en disant «
√
n > 0
donc… ».
En divisant l’encadrement
2
√
n + 1 − 2 u n
√
n − 1 +
√
n
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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