Pour montrer que ceci est inférieur ou égal à
√
n + 1 il suffit de démontrer que son
numérateur est inférieur ou égal à n + 1. Or on a n 2 − 1 n 2 , d’où
√
n 2 − 1 n
et enfin :
√
n 2 − 1 + 1
√
n + 1
√
n + 1.
D’autre part :
√
n − 1 +
1
√
n + 1
=
√
n 2 − 1 + 1
√
n + 1
.
On a n 2 − 1 n 2 donc, par croissance de la fonction racine carrée,
√
n 2 − 1 + 1 n + 1 d’où l’on tire, en reportant dans la précédente majoration de u n+1 :
u n+1
√
n +
√
n + 1.
Ainsi H n+1 est vraie.
• D’après le principe de récurrence, H n est donc vraie pour tout n ∈ N ∗ .
Inégalité de gauche
De même posons, pour n ∈ N ∗ , K n : « 2
√
n + 1 − 2 u n ».
• K 1 est vraie : on a
√
2 3/2 donc 2
√
n + 1 − 2 1 = u 1 .
• Soit n ∈ N ∗ tel que K n soit vraie, i.e. 2
√
n + 1 − 2 u n . On a alors
2
√
n + 1 +
1
√
n + 1
− 2 u n+1 .
On a 2
√
n + 1 +
1
√
n + 1
=
2n + 3
√
n + 1
. On veut montrer que ceci est supérieur ou
égal à 2
√
n + 2. Pour cela, montrons que leur différence est positive.
En réduisant au même dénominateur on a :
2n + 3
√
n + 1
− 2
√
n + 2 =
2n + 3 − 2
√
(n + 1)(n + 2)
√
n + 1
.
Il reste à déterminer le signe du numérateur, i.e. à comparer 2n + 3 et
2
√
(n + 1)(n + 2) .
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Partie 2 • Analyse
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