Exercice 5.4 : Étude d’une suite définie par une somme
Pour n ∈ N ∗ on pose u n =
n
k=1
1
√
k
, v n =
u n
√
n
et w n = u n − 2
√
n.
1. Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N ∗ :
2
√
n + 1 − 2 u n
√
n − 1 +
√
n.
2. Montrer que lim
n→∞
v n = 2.
3. Montrer que (w n ) n∈N ∗ est convergente (on ne demande pas sa limite).
L’encadrement de u n nous fournira, en divisant par
√
n , un encadrement de v n : il
est probable que l’argument adapté pour la deuxième question soit le théorème
d’encadrement (aussi appelé théorème des gendarmes).
La troisième question ressemble à la deuxième à ceci près qu’elle demande de montrer qu’une suite est convergente sans calculer sa limite : le théorème le plus courant fournissant un tel résultat existentiel (la limite existe) mais non constructif (on
ne trouve pas la valeur exacte de la limite) est le théorème de la limite monotone. Il
faudra donc commencer la troisième question par l’étude de la monotonie de la suite
de terme général w n pour voir si les hypothèses de ce théorème sont vérifiées.
1. Pour plus de clarté, séparons l’étude des deux inégalités de l’encadrement.
Inégalité de droite
Procédons par récurrence : pour n ∈ N ∗ on pose H n : « u n
√
n − 1 +
√
n ».
• H 1 est clairement vraie.
• Soit n ∈ N ∗ tel que H n soit vraie. Alors u n
√
n − 1 +
√
n donc
u n+1
√
n − 1 +
√
n +
1
√
n + 1
.
On veut démontrer que u n+1
√
n +
√
n + 1 : autrement dit, il suffit de montrer
que
√
n − 1 +
1
√
n + 1
√
n + 1. Afin de simplifier les expressions comportant
des racines carrées commençons par réduire les termes du membre de gauche au
même dénominateur :
√
n − 1 +
1
√
n + 1
=
√
n 2 − 1 + 1
√
n + 1
.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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