Pour n ∈ N ∗ on a
(h n+1 − ln(n + 1)) − (h n − ln(n)) =
1
n + 1
− ln
1 +
1
n
.
Or, pour tout x ∈] − 1,+∞[, ln(1 + x) x.
D’autre part :
ln
1 +
1
n
= −ln
n
n + 1
= −ln
1 −
1
n + 1
.
On en déduit, avec x = −
1
n + 1
dans l’inégalité rappelée ci-dessus :
(h n+1 − ln(n + 1)) − (h n − ln(n)) 0.
La suite de terme général h n − ln(n) est donc décroissante.
Comme elle est par ailleurs minorée par 0, elle est convergente.
Le réel γ = lim
n→∞
(h n − ln(n)) est la constante d’Euler, égale à 0,577 à 0,001 près.
On notera que l’énoncé ne demande pas de calculer explicitement cette valeur, on
se gardera donc de le faire. Le théorème de la limite monotone permet souvent de
démontrer la convergence d’une suite mais ne permet pas de déterminer explicitement sa limite.
4. On a donc lim
n→∞
(h n − ln(n)) = γ. Afin de faire intervenir h 2n , remarquons que
d’après le théorème des suites extraites on a également lim
n→∞
(h 2n − ln(2n)) = γ. Il
ne reste plus qu’à soustraire pour faire apparaître h 2n − h n .
De lim
n→∞
(h n − ln(n)) = γ on tire lim
n→∞
(h 2n − ln(2n)) = γ car toute suite
extraite d’une suite convergente est convergente de même limite.
En soustrayant ces deux limites, vu que ln(2n) − ln(n) = ln(2), il vient
lim
n→∞
(h 2n − h n − ln(2)) = 0 soit :
lim
n→∞
(h 2n − h n ) = ln(2).
92
Partie 2 • Analyse
9782100547678-Fresl-C5.qxd 5/07/10 9:15 Page 92