En effet :
n
k=2
k+1
k
1
t
dt =
3
2
1
t
dt + · · · +
n+1
n
1
t
dt
=
n+1
2
1
t
dt
car l’extrémité supérieure de chaque intégrale est l’extrémité inférieure de la précédente.
De même, la somme de droite se réduit à :
n
1
1
t
dt.
D’après la relation de Chasles :
n
k=2
k+1
k
1
t
dt =
n+1
2
1
t
dt = ln(n + 1) − ln(2)
et
n
k=2
k
k−1
1
t
dt =
n
1
1
t
dt = ln(n).
L’encadrement précédent est donc :
ln(n + 1) − ln(2) h n − 1 ln(n).
Or
ln(n) ln(n + 1) et − 1 −ln(2)
donc
ln(n) − 1 ln(n + 1) − ln(2)
et enfin
ln(n) h n 1 + ln(n).
3. La question précédente montre que, pour tout n ∈ N ∗ , h n − ln(n) ∈ [0,1] : cette
suite est bornée. Il suffit donc d’étudier sa monotonie pour, si possible, appliquer le
théorème de la limite monotone.
h n étant défini par une somme nous allons évaluer le signe de la différence de deux
termes successifs de la suite de terme général h n − ln(n).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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