Plus précisément, chacun des rectangles hachurés est d’aire 1/k. On voit que le rectangle de gauche a une aire inférieure à l’aire sous la courbe, qui est l’intégrale de
droite de l’encadrement, alors que l’autre a une aire supérieure à l’aire sous la
courbe, qui est l’intégrale de gauche.
Nous allons donc transformer une inégalité sur des fonctions (positions relatives de
courbes) en une inégalité sur des intégrales (qui représentent des aires).
Pour t ∈ [k,k + 1] on a k t k + 1 donc, en particulier,
1
t
1
k
.
En intégrant cette inégalité de k à k + 1 il vient :
k+1
k
1
t
dt
k+1
k
1
k
dt =
1
k
car
1
k
est une constante.
De même, pour t ∈ [k − 1,k] , on a k − 1 t k donc, en particulier,
1
k
1
t
.
En intégrant cette inégalité de k − 1 à k il vient :
1
k
=
k
k−1
1
k
dt
k
k−1
1
t
dt
car
1
k
est une constante.
Nous avons bien utilisé le fait que k 2 puisque nous avons considéré l’intégrale
k
k−1
1
t
dt : pour k = 1 ceci n’a pas de sens !
2. Afin de faire apparaître h n on peut additionner les encadrements précédents.
Cependant, ils ne sont valables que pour k 2 : nous allons donc d’abord les additionner pour k allant de 2 à n puis ajouter 1.
En additionnant les encadrements précédents pour k = 2,. . . ,n on obtient :
n
k=2
k+1
k
1
t
dt
n
k=2
1
k
n
k=2
k
k−1
1
t
dt.
Le terme du milieu est h n − 1.
D’autre part, on reconnaît dans les deux autres termes la relation de Chasles.
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Partie 2 • Analyse
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