Supposons f (c) < c. Alors f (c) n’est pas un majorant de A donc il existe
un élément d de A tel que f (c) < d.
Comme d ∈ A on a aussi, c étant un majorant de A : d c.
On a également, par définition de A, f (d) d.
Nous avons ainsi quatre inégalités : f (c) < c, f (c) < d, d c et d f (d). D’autre
part, nous n’avons toujours pas utilisé le point iv, i.e. la croissance de f, qui nous
permet de transformer ces inégalités en nouvelles inégalités.
De d c on tire, f étant croissante : f (d) f (c).
D’autre part, d f (d), d’où d f (c).
Ceci contredit l’inégalité f (c) < d : ainsi, f (c) c.
Exercice 5.3 : Série harmonique
Pour n ∈ N ∗ on pose h n =
n
k=1
1
k
. La suite (h n ) n∈N ∗ est la série harmonique.
1. Soit un entier k 2. Montrer que
k+1
k
1
t
dt
1
k
k
k−1
1
t
dt . On pourra
commencer par illustrer graphiquement cet encadrement.
2. Montrer que, pour tout n ∈ N ∗ , ln(n) h n 1 + ln(n) .
3. Montrer que la suite de terme général h n − ln(n) est convergente. On notera γ
sa limite.
4. Déterminer lim
n→∞
(h 2n − h n ).
1. Représentons graphiquement cet encadrement :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
1
k
1
x
y =
k – 1
k + 1
k
Sur le dessin, on voit que l’encadrement vient du fait que la courbe représentative
de la fonction inverse se trouve, sur l’intervalle [k,k + 1] , en-dessous de la droite
d’équation y = 1/k et que sur, l’intervalle [k − 1,k] , elle est au-dessus de cette
droite.
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