Le raisonnement que nous venons de faire en dit plus :
• a ∈ A et c est un majorant de A, donc a c ;
• b est un majorant de A et c est le plus petit de ces majorants, donc c b.
Ainsi, a c b donc c ∈ [a,b].
Ce résultat est important : cela a donc un sens de parler dans la suite de l’exercice
de f (c).
2. Récapitulons les propriétés des objets de l’énoncé :
i) tout élément x de A vérifie x c (c est un majorant de A) ;
ii) pour tout réel c < c il existe un élément x de A tel que x > c (c est le plus petit
des majorants de A) ;
iii) tout élément x de A vérifie f (x) x (définition de A) ;
iv) pour tous x et y de [a,b], si x y alors f (x) f (y) (f est croissante).
Nous venons ainsi de résumer complètement toutes les données de l’énoncé.
L’exercice doit donc pouvoir se résoudre en utilisant ces quatre points et rien
qu’eux.
Il est demandé de raisonner par l’absurde : supposons f (c) > c et cherchons, parmi
les quatre points précédents, celui ou ceux que nous pouvons utiliser.
Les points i et iii sont inutiles : aucun élément de A n’apparaît dans l’intitulé de cette
question.
Le point ii fait intervenir les réels strictements inférieurs à c et il n’y en a pas dans
la question ici posée. Ainsi, il ne reste que le point iv pour débuter le raisonnement.
On prendra garde au fait que la fonction f est croissante mais pas nécessairement
strictement croissante : autrement dit, l’inégalité stricte c < f (c) implique l’inégalité large f (c) f ( f (c)) mais cette dernière peut être une égalité ; nous verrons
que cela n’est pas gênant.
Supposons c < f (c). f étant croissante on a alors f (c) f ( f (c)) . Ceci
montre que f (c) ∈ A.
Or c est un majorant de A donc f (c) c. Ceci contredit l’hypothèse
f (c) > c.
Ainsi, on a f (c) c.
3. On souhaite ici montrer que f (c) c, i.e. c ∈ A. Ceci n’est a priori pas évident !
En effet, la borne supérieure de A n’appartient pas forcément à A en général (on
pourrait par exemple avoir A = [a,c[). Il y a donc bien quelque chose à démontrer.
L’énoncé demande ici de supposer f (c) < c. On voit ainsi apparaître clairement le
point ii.
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Partie 2 • Analyse
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• a ∈ A et c est un majorant de A, donc a c ;
• b est un majorant de A et c est le plus petit de ces majorants, donc c b.
Ainsi, a c b donc c ∈ [a,b].
Ce résultat est important : cela a donc un sens de parler dans la suite de l’exercice
de f (c).
2. Récapitulons les propriétés des objets de l’énoncé :
i) tout élément x de A vérifie x c (c est un majorant de A) ;
ii) pour tout réel c < c il existe un élément x de A tel que x > c (c est le plus petit
des majorants de A) ;
iii) tout élément x de A vérifie f (x) x (définition de A) ;
iv) pour tous x et y de [a,b], si x y alors f (x) f (y) (f est croissante).
Nous venons ainsi de résumer complètement toutes les données de l’énoncé.
L’exercice doit donc pouvoir se résoudre en utilisant ces quatre points et rien
qu’eux.
Il est demandé de raisonner par l’absurde : supposons f (c) > c et cherchons, parmi
les quatre points précédents, celui ou ceux que nous pouvons utiliser.
Les points i et iii sont inutiles : aucun élément de A n’apparaît dans l’intitulé de cette
question.
Le point ii fait intervenir les réels strictements inférieurs à c et il n’y en a pas dans
la question ici posée. Ainsi, il ne reste que le point iv pour débuter le raisonnement.
On prendra garde au fait que la fonction f est croissante mais pas nécessairement
strictement croissante : autrement dit, l’inégalité stricte c < f (c) implique l’inégalité large f (c) f ( f (c)) mais cette dernière peut être une égalité ; nous verrons
que cela n’est pas gênant.
Supposons c < f (c). f étant croissante on a alors f (c) f ( f (c)) . Ceci
montre que f (c) ∈ A.
Or c est un majorant de A donc f (c) c. Ceci contredit l’hypothèse
f (c) > c.
Ainsi, on a f (c) c.
3. On souhaite ici montrer que f (c) c, i.e. c ∈ A. Ceci n’est a priori pas évident !
En effet, la borne supérieure de A n’appartient pas forcément à A en général (on
pourrait par exemple avoir A = [a,c[). Il y a donc bien quelque chose à démontrer.
L’énoncé demande ici de supposer f (c) < c. On voit ainsi apparaître clairement le
point ii.
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Partie 2 • Analyse
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