1. Justifier l’existence de c = sup(A) et montrer que c ∈ [a,b].
2. Montrer par l’absurde que f (c) c.
3. Montrer par l’absurde que f (c) c.
Ainsi, f (c) = c : l’application f possède un point fixe.
La question « justifier l’existence de la borne supérieure de tel ensemble » est classique et simple : il suffit pour cela de montrer que l’ensemble en question est une
partie non vide et majorée de R. Un théorème admis du cours énonce alors qu’il
possède bien une borne supérieure.
Il faut garder à l’esprit qu’il est en général difficile de calculer explicitement une
borne supérieure. Il faut donc bien lire l’énoncé : démontrer l’existence d’un objet
mathématique ne signifie pas que l’on est capable de l’écrire explicitement.
Autrement dit, lorsqu’un énoncé pose une question d’existence (d’une borne supérieure, d’une limite…) mais ne demande pas de valeur explicite, il ne faut pas forcément chercher à déterminer cette valeur.
Lorsque l’on a posé c = sup(A) on peut affirmer les deux choses suivantes, qui sont
la traduction du fait que c est le plus petit des majorants de A :
• c est un majorant de A donc, pour tout x ∈ A, x c ;
• si c est réel strictement inférieur à c, c n’est pas un majorant de A, donc il existe
x ∈ A tel que x > c .
La première propriété fournit une inégalité vérifiée par tous les éléments de A ; la
seconde montre l’existence d’un certain élément de A vérifiant une inégalité.
Ces inégalités permettront de traiter les deux questions suivantes en n’oubliant pas
qu’il y a une hypothèse supplémentaire sur l’application f : elle est supposée croissante.
1. La première partie de la question se rédige comme expliqué plus haut :
Vérifions que A est une partie non vide et majorée de R.
• A = / ∅ : en effet, f (a) ∈ [a,b] donc f (a) a, i.e. a ∈ A.
• A est majorée : en effet, par définition, A ⊂ [a,b], donc A est majorée
par b.
Ainsi, c est bien défini.
Il reste à montrer que a c b.
Pour cela, on utilise encore les deux propriétés de c :
• pour montrer qu’un réel est inférieur ou égal à c il faut d’abord se demander s’il
est élément de A, auquel cas le résultat est clair, c étant un majorant de A ;
• pour montrer qu’un réel est supérieur ou égal à c, il suffit de montrer qu’il est un
majorant de A (car c est le plus petit des majorants).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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2. Montrer par l’absurde que f (c) c.
3. Montrer par l’absurde que f (c) c.
Ainsi, f (c) = c : l’application f possède un point fixe.
La question « justifier l’existence de la borne supérieure de tel ensemble » est classique et simple : il suffit pour cela de montrer que l’ensemble en question est une
partie non vide et majorée de R. Un théorème admis du cours énonce alors qu’il
possède bien une borne supérieure.
Il faut garder à l’esprit qu’il est en général difficile de calculer explicitement une
borne supérieure. Il faut donc bien lire l’énoncé : démontrer l’existence d’un objet
mathématique ne signifie pas que l’on est capable de l’écrire explicitement.
Autrement dit, lorsqu’un énoncé pose une question d’existence (d’une borne supérieure, d’une limite…) mais ne demande pas de valeur explicite, il ne faut pas forcément chercher à déterminer cette valeur.
Lorsque l’on a posé c = sup(A) on peut affirmer les deux choses suivantes, qui sont
la traduction du fait que c est le plus petit des majorants de A :
• c est un majorant de A donc, pour tout x ∈ A, x c ;
• si c est réel strictement inférieur à c, c n’est pas un majorant de A, donc il existe
x ∈ A tel que x > c .
La première propriété fournit une inégalité vérifiée par tous les éléments de A ; la
seconde montre l’existence d’un certain élément de A vérifiant une inégalité.
Ces inégalités permettront de traiter les deux questions suivantes en n’oubliant pas
qu’il y a une hypothèse supplémentaire sur l’application f : elle est supposée croissante.
1. La première partie de la question se rédige comme expliqué plus haut :
Vérifions que A est une partie non vide et majorée de R.
• A = / ∅ : en effet, f (a) ∈ [a,b] donc f (a) a, i.e. a ∈ A.
• A est majorée : en effet, par définition, A ⊂ [a,b], donc A est majorée
par b.
Ainsi, c est bien défini.
Il reste à montrer que a c b.
Pour cela, on utilise encore les deux propriétés de c :
• pour montrer qu’un réel est inférieur ou égal à c il faut d’abord se demander s’il
est élément de A, auquel cas le résultat est clair, c étant un majorant de A ;
• pour montrer qu’un réel est supérieur ou égal à c, il suffit de montrer qu’il est un
majorant de A (car c est le plus petit des majorants).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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