d’où l’on tire
(3) x − 1 < E(x) x et (4) nx − 1 < E(nx) nx.
En multipliant l’encadrement (3) par −n qui est strictement négatif on
obtient :
(5) − nx −n E(x) < n − nx.
Enfin, en additionnant les encadrements (4) et (5), il vient :
(6) − 1 < E(nx) − n E(x) < n.
Pour conclure, nous pouvons utiliser un argument spécifique aux inégalités entre
entiers : si a et b sont deux entiers tels que a < b, alors a b − 1.
Tous les termes de l’encadrement (6) étant entiers (car n l’est) on peut le
réécrire :
(7) 0 E(nx) − n E(x) n − 1.
On a utilisé le fait que n est entier pour transformer les inégalités strictes en les
inégalités larges demandées.
D’autre part, on a utilisé le fait que n est strictement positif au début en multipliant
l’encadrement définissant E(x) par n sans changer le sens des inégalités.
Ainsi, on a bien utilisé complètement l’hypothèse n ∈ N ∗ .
2. Soient y = E(nx)/n et p = E(y). Par définition, p est l’unique entier vérifiant
p y < p + 1. Or E(x) est un entier : pour montrer que E(x) = p il suffit donc
de montrer que E(x) y < E(x) + 1.
De l’encadrement obtenu à la question précédente on tire :
n E(x) E(nx) n E(x) + n − 1
soit, n étant strictement positif :
E(x) E(nx)/n E(x) + 1 − 1/n < E(x) + 1
Comme E(x) est un entier on a alors, par définition de la partie entière :
E(x) = E(E(nx)/n).
Exercice 5.2 : Borne supérieure
Soient a et b deux réels, avec a < b, et f : [a,b] → [a,b] une application croissante. On pose A = {x ∈ [a,b]| x f (x)}.
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Partie 2 • Analyse
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