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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 5.1 : Partie entière
Soient x ∈ R et n ∈ N ∗ .
1. Montrer que 0 E(nx) − n E(x) n − 1 .
2. En déduire E(E(nx)/n) = E(x).
Étant donné un réel a, la partie entière de a est par définition l’unique entier relatif E(a) vérifiant E(a) a < E(a) + 1.
Aucune propriété de la partie entière n’est au programme : tout exercice la faisant
intervenir se ramène donc à des manipulations de cet encadrement qui la définit.
1. Ici interviennent deux parties entières : celle de x et celle de nx. Par définition :
E(x) x < E(x) + 1 et E(nx) nx < E(nx) + 1.
Afin de faire intervenir n E(x) multiplions le premier encadrement par n. Comme
n > 0, cette multiplication conserve les inégalités strictes d’où :
n E(x) nx < n E(x) + n.
On en déduit l’encadrement opposé :
−n E(x) − n < −nx −n E(x).
Ne pas soustraire des inégalités ! En effet, l’introduction d’un signe « – » renverse
le sens des inégalités.
Pour ne pas commettre d’erreur, il faut prendre le temps d’une étape intermédiaire
où l’on passe à l’opposé dans un encadrement avant d’additionner.
Par définition de la partie entière :
(1) E(x) x < E(x) + 1 et (2) E(nx) nx < E(nx) + 1
Nombres réels,
Suites
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 5.1 : Partie entière
Soient x ∈ R et n ∈ N ∗ .
1. Montrer que 0 E(nx) − n E(x) n − 1 .
2. En déduire E(E(nx)/n) = E(x).
Étant donné un réel a, la partie entière de a est par définition l’unique entier relatif E(a) vérifiant E(a) a < E(a) + 1.
Aucune propriété de la partie entière n’est au programme : tout exercice la faisant
intervenir se ramène donc à des manipulations de cet encadrement qui la définit.
1. Ici interviennent deux parties entières : celle de x et celle de nx. Par définition :
E(x) x < E(x) + 1 et E(nx) nx < E(nx) + 1.
Afin de faire intervenir n E(x) multiplions le premier encadrement par n. Comme
n > 0, cette multiplication conserve les inégalités strictes d’où :
n E(x) nx < n E(x) + n.
On en déduit l’encadrement opposé :
−n E(x) − n < −nx −n E(x).
Ne pas soustraire des inégalités ! En effet, l’introduction d’un signe « – » renverse
le sens des inégalités.
Pour ne pas commettre d’erreur, il faut prendre le temps d’une étape intermédiaire
où l’on passe à l’opposé dans un encadrement avant d’additionner.
Par définition de la partie entière :
(1) E(x) x < E(x) + 1 et (2) E(nx) nx < E(nx) + 1
Nombres réels,
Suites
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