par
√
n , qui est strictement positif :
2
1 +
1
n
−
2
√
n
v n
1 −
1
n
+ 1.
On en déduit, d’après le théorème d’encadrement et les limites usuelles, que
lim
n→∞
v n = 2.
3. D’autre part on a, pour n ∈ N ∗ :
w n+1 − w n = u n+1 − 2
√
n + 1 − u n + 2
√
n
= 2
√
n − 2
√
n + 1 +
1
√
n + 1
.
On en déduit
w n+1 − w n =
2
√
n(n + 1) − (2n + 1)
√
n + 1
.
Il suffit de déterminer le signe du numérateur, ce que l’on peut faire par un calcul
analogue à celui de la question précédente :
(2n + 1)
2
= 4n
2
+ 4n + 1 4n
2
+ 4n = 4n(n + 1)
donc
2n + 1 2
n(n + 1).
Pour n ∈ N ∗ on a, après réduction au même dénominateur :
w n+1 − w n =
2
√
n(n + 1) − (2n + 1)
√
n + 1
.
Or
(2n + 1)
2
= 4n
2
+ 4n + 1 4n
2
+ 4n = 4n(n + 1)
donc
2n + 1 2
n(n + 1)
et enfin
w n+1 − w n 0.
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Partie 2 • Analyse
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