D’autre part :
w n = u n − 2
√
n 2
√
n + 1 − 2
√
n − 2 −2.
La suite de terme général w n est décroissante et minorée par −2 donc
convergente.
On peut aborder ce type de problème comme dans l’exercice 5.3 pour établir les
encadrements de départ. En effet, un raisonnement analogue montre que, pour tout
entier k 2 :
k+1
k
1
√
t
dt
1
√
k
k
k−1
1
√
t
dt
d’où l’on tire
n+1
2
1
√
t
dt u n − 1
n
1
1
√
t
dt
soit enfin
2(
√
n + 1 −
√
2) u n − 1 2(
√
n − 1)
puis, en remarquant que −2 1 − 2
√
2 et
√
n − 1
√
n − 1 :
2
√
n + 1 − 2 u n
√
n − 1 +
√
n.
Inversement, les encadrements obtenus sur la série harmonique auraient pu être
donnés par l’énoncé puis vérifiés par récurrence.
Exercice 5.5 : Irrationnalité de e
Pour n ∈ N ∗ on pose u n =
n
k=0
1
k!
et v n = u n +
1
n · n!
.
1. Montrer que (u n ) n∈N ∗ et (v n ) n∈N ∗ sont adjacentes.
Soit leur limite commune. On suppose que est rationnelle et on choisit deux
entiers naturels a et b tels que = a/b.
2. Montrer que u b < < < v b .
3. En déduire deux entiers naturels M et N tels que N < M < N + 1. Conclure.
On peut montrer, à l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, que = e.
Montrer que deux suites sont adjacentes est une application directe d’une définition
du cours. La difficulté est ici calculatoire : il faudra manipuler simultanément le
symbole et des factorielles.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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