1. C’est une application directe d’une définition du cours : il faut démontrer que
l’une des deux suites est croissante, l’autre décroissante et que la différence tend
vers 0.
Pour la monotonie des suites on considérera les différences de termes successifs car
elles sont définies par des sommes.
Étude de la monotonie de (u n ) n∈N ∗
Pour tout n ∈ N ∗ , u n+1 − u n =
1
(n + 1)!
> 0 donc (u n ) n∈N ∗ est croissante
(et même strictement croissante).
Étude de la monotonie de (v n ) n∈N ∗
Les calculs sont ici un peu plus lourds, nous allons les détailler avant de passer à la
rédaction finale. En particulier, nous allons effectuer étape par étape la réduction au
même dénominateur des fractions avec les factorielles.
Pour n ∈ N ∗ on a :
v n+1 − v n = u n+1 +
1
(n + 1) · (n + 1)!
− u n −
1
n · n!
=
1
(n + 1)!
+
1
(n + 1) · (n + 1)!
−
1
n · n!
.
Réduisons ces fractions au même dénominateur. Tout d’abord,
1
(n + 1)!
+
1
(n + 1) · (n + 1)!
=
n + 1
(n + 1)(n + 1)!
+
1
(n + 1) · (n + 1)!
=
n + 2
(n + 1) · (n + 1)!
.
D’autre part,
n + 2
(n + 1) · (n + 1)!
−
1
n · n!
=
n(n + 2)
n(n + 1) · (n + 1)!
−
(n + 1) 2
n(n + 1) · (n + 1)!
= −
1
n(n + 1) · (n + 1)!
< 0
car n(n + 2) − (n + 1) 2 = −1 .
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Partie 2 • Analyse
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