Pour n ∈ N ∗ on a :
v n+1 − v n =
1
(n + 1)!
+
1
(n + 1) · (n + 1)!
−
1
n · n!
soit, après simplification :
v n+1 − v n = −
1
n(n + 1) · (n + 1)!
< 0.
Ainsi, v n+1 − v n < 0 : la suite de terme général v n est donc décroissante et
même strictement décroissante.
La dernière étape, comme souvent, ne pose pas de problème :
• Pour n ∈ N ∗ on a v n − u n =
1
n · n!
donc lim
n→∞
(v n − u n ) = 0 .
• Ainsi, (u n ) n∈N ∗ et (v n ) n∈N ∗ sont adjacentes.
2. La conclusion du théorème des suites adjacentes fournit l’encadrement
u n v n pour tout entier naturel non nul n. Pour montrer que les inégalités sont
en fait strictes on peut raisonner par l’absurde en supposant que ce sont des égalités.
D’après le théorème des suites adjacentes on a, pour tout n ∈ N ∗ ,
u n v n .
Supposons que u b = . La suite (u n ) n∈N ∗ étant strictement croissante on
aurait alors u b+1 > u b = , ce qui contredit u b+1 .
Ainsi, u b < <. L’inégalité v b > > se montre de la même manière.
3. La question précédente donne l’encadrement
b
k=0
1
k!
<
a
b
<
b
k=0
1
k!
+
1
b · b!
.
Il s’agit en fait d’un encadrement entre fractions : pour aboutir à un encadrement
entre entiers il suffit donc de le multiplier par un entier bien choisi.
On remarque que les dénominateurs apparaissant dans les sommes se divisent les
uns les autres : 0!,1!,. . . ,b!.
Ainsi, en multipliant par b!, tous les termes seront des entiers.
L’encadrement précédent peut s’écrire :
b
k=0
1
k!
<
a
b
<
b
k=0
1
k!
+
1
b · b!
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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