En multipliant ces inégalités par b!, qui est strictement positif, on obtient
b
k=0
b!
k!
< a(b − 1)! <
b
k=0
b!
k!
+
1
b
.
Or, pour tout entier naturel k b,
b!
k!
est un entier : c’est 1 si k = b et le
produit (k + 1) · · · b si k < b.
Le membre de gauche est donc un entier naturel que nous noterons N.
Le membre du milieu est aussi un entier que nous noterons M.
On a alors, avec ces notations : N < M < N +
1
b
.
Comme b ∈ N ∗ ,
1
b
1 d’où M < N + 1.
On a donc N < M < N + 1 avec M et N entiers : c’est absurde, car M
serait alors un entier strictement compris entre deux entiers successifs.
L’hypothèse de départ, c’est-à-dire ∈ Q, est donc fausse : est irrationnel.
Lorsque vous aurez étudié les intégrales, vous pourrez montrer que = e en appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction exponentielle entre les points 0
et 1.
On obtient alors sans aucun calcul la majoration
|e − u n |
e
(n + 1)!
qui montre que lim
n→∞
u n = e et fournit en plus un majorant explicite de la différence : par exemple, en prenant n = 9, elle montre que u 9 est une valeur approchée de e à 10 −6 près.
En deuxième année vous apprendrez à utiliser de manière systématique cette formule afin d’établir la convergence de suites de ce type.
Exercice 5.6 : Valeurs approchées de racines carrées
Soient deux réels strictement positifs a b, (u n ) n∈N et (v n ) n∈N les deux suites
strictement positives définies par :
u 0 = a
et v 0 = b
u n+1 =
2u n v n
u n + v n
et v n+1 =
u n + v n
2
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Partie 2 • Analyse
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b
k=0
b!
k!
< a(b − 1)! <
b
k=0
b!
k!
+
1
b
.
Or, pour tout entier naturel k b,
b!
k!
est un entier : c’est 1 si k = b et le
produit (k + 1) · · · b si k < b.
Le membre de gauche est donc un entier naturel que nous noterons N.
Le membre du milieu est aussi un entier que nous noterons M.
On a alors, avec ces notations : N < M < N +
1
b
.
Comme b ∈ N ∗ ,
1
b
1 d’où M < N + 1.
On a donc N < M < N + 1 avec M et N entiers : c’est absurde, car M
serait alors un entier strictement compris entre deux entiers successifs.
L’hypothèse de départ, c’est-à-dire ∈ Q, est donc fausse : est irrationnel.
Lorsque vous aurez étudié les intégrales, vous pourrez montrer que = e en appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction exponentielle entre les points 0
et 1.
On obtient alors sans aucun calcul la majoration
|e − u n |
e
(n + 1)!
qui montre que lim
n→∞
u n = e et fournit en plus un majorant explicite de la différence : par exemple, en prenant n = 9, elle montre que u 9 est une valeur approchée de e à 10 −6 près.
En deuxième année vous apprendrez à utiliser de manière systématique cette formule afin d’établir la convergence de suites de ce type.
Exercice 5.6 : Valeurs approchées de racines carrées
Soient deux réels strictement positifs a b, (u n ) n∈N et (v n ) n∈N les deux suites
strictement positives définies par :
u 0 = a
et v 0 = b
u n+1 =
2u n v n
u n + v n
et v n+1 =
u n + v n
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