1. Montrer que, pour tout n ∈ N, u n v n (on pourra exprimer v n − u n sous
forme d’une fraction en u n−1 et v n−1 ).
2. Montrer que (u n ) n∈N et (v n ) n∈N sont convergentes, puis que leurs limites sont
égales.
3. À l’aide du produit u n v n déterminer la valeur de cette limite.
4. Application : donner des approximations rationnelles de
√
2 et
√
3.
1. Le calcul est suggéré par l’énoncé : exprimer u n et v n en fonction de u n−1 et v n−1
puis mettre au même dénominateur. Afin que u n−1 ait un sens on supposera n 1 ;
le cas n = 0 se traitera à la main.
Pour n ∈ N ∗ on a
v n − u n =
u n−1 + v n−1
2
−
2u n−1 v n−1
u n−1 + v n−1
.
En réduisant au même dénominateur, on obtient
v n − u n =
(u n−1 + v n−1 ) 2 − 4u n−1 v n−1
2(u n−1 + v n−1 )
.
On reconnaît des identités remarquables :
(u n−1 + v n−1 )
2
= u
2
n−1 + 2u n−1 v n−1 + v
2
n−1
donc
(u n−1 + v n−1 ) 2 − 4u n−1 v n−1 = u
2
n−1 − 2u n−1 v n−1 + v
2
n−1
= (u n−1 − v n−1 ) 2 .
Ainsi,
v n − u n =
(u n−1 − v n−1 ) 2
2(u n−1 + v n−1 )
0.
On a donc bien u n v n pour tout n ∈ N ∗ .
Enfin, pour n = 0, c’est vrai par hypothèse.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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