2. Nous allons montrer que ces suites convergent par un argument de monotonie.
• Pour n ∈ N on a v n+1 − v n =
u n − v n
2
qui est négatif d’après la première
question : (v n ) n∈N est donc décroissante.
• D’autre part, pour n ∈ N,
u n+1
u n
=
2v n
u n + v n
. Or, toujours d’après la première question, 2v n u n + v n donc
u n+1
u n
1 : la suite (u n ) n∈N est donc
croissante.
On aurait aussi pu calculer u n+1 − u n :
u n+1 − u n = −
u n (v n − u n )
u n + v n
0.
Pour une fois, la différence comme le quotient permettaient tous deux de conclure.
On poursuit en mimant la démonstration du théorème des suites adjacentes.
En particulier, pour tout n ∈ N, u 0 u n v n v 0 .
Ainsi, (v n ) n∈N est décroissante et minorée par u 0 , (u n ) n∈N est croissante et
majorée par v 0 . Ces deux suites sont donc convergentes.
Enfin, en passant à la limite dans l’égalité v n+1 =
u n + v n
2
:
lim
n→∞
v n =
1
2
( lim
n→∞
u n + lim
n→∞
v n )
d’où lim
n→∞
u n = lim
n→∞
v n . Notons cette limite commune.
Le théorème de la limite monotone affirme de plus que = sup{u n | n ∈ N} et
= inf{v n | n ∈ N} .
On a donc, pour tout n ∈ N : u n v n .
3. Les deux suites étant définies par une relation de récurrence, cherchons une relation entre u n+1 v n+1 et u n v n .
Par définition :
u n+1 v n+1 =
2u n v n
u n + v n
×
u n + v n
2
= u n v n .
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Partie 2 • Analyse
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