Autrement dit, le produit de ces deux suites est constant !
On constate que, pour tout n ∈ N, u n+1 v n+1 = u n v n ; on a donc, par récurrence immédiate, u n v n = u 0 v 0 pour tout n ∈ N.
En passant à la limite : 2 = ab.
Comme 0 il vient =
√
ab.
4. Nous allons calculer les premiers termes des suites u n et v n avec a = 1 et b = 2 :
nous obtiendrons ainsi des encadrements de
√
2.
Notons qu’il est facile de calculer rapidement ces termes : en effet, on a ici u n =
2
v n
,
ce qui permet de déterminer u n à partir de v n presque sans calcul.
De même, avec b = 3, on obtient des encadrements de
√
3.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
103
Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
n
u n
v n
0
1
2
1
4
3
3
2
2
24
17
17
12
3
816
577
577
408
4
941 664
665 857
665 857
470 832
n
u n
v n
0
1
3
1
3
2
2
2
12
7
7
4
3
168
97
97
56
4
32 592
18 817
18 817
10 864
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