Exercice 5.7 : Divergence de (sin(n)) n∈N
On suppose que la suite de terme général sin(n) est convergente de limite .
1. En considérant la suite de terme général sin(n + 1) , montrer que la suite de
terme général cos(n) est convergente. On note sa limite.
2. À l’aide de formules de trigonométrie exprimer de différentes manières les
limites des suites (sin(2n)) n∈N et (cos(2n)) n∈N à l’aide de et . En déduire les
valeurs possibles de , puis montrer que = 0 et = 1.
3. Conclure.
Comme l’indique le titre nous allons démontrer que la suite de terme général sin(n)
est divergente. L’énoncé commençant par « supposons que cette suite converge », il
s’agit en fait d’une démonstration par l’absurde.
Il est ici question de suites extraites (ou sous-suites). La propriété fondamentale est
la suivante : toute suite extraite d’une suite convergente est convergente de même
limite. C’est ce théorème qui servira à calculer les limites de sin(n + 1) , sin(2n) et
cos(2n) quand n tend vers +∞ en fonction de celles de sin(n) et cos(n).
1. La formule de trigonométrie
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
est évidemment à utiliser : on vous demande en effet de faire le lien entre sin(n) ,
cos(n) et sin(n + 1) , il suffit donc d’utiliser cette relation avec a = n et b = 1.
On a, pour tout entier naturel n, sin(n + 1) = sin(n)cos(1) + cos(n)sin(1)
d’où, sin(1) étant non nul :
cos(n) =
sin(n + 1) − sin(n) cos(1)
sin(1)
.
Or sin(n) →
n→∞
, donc sin(n + 1) →
n→∞
et il vient cos(n) →
n→∞
1 − cos(1)
sin(1)
.
2. Rappelons les formules de trigonométrie reliant sin(2n) et cos(2n) à sin(n) et
cos(n) :
sin(2n) = 2 sin(n) cos(n) et cos(2n) = 2 cos
2
(n) − 1 = 1 − 2 sin
2
(n).
On demande d’établir plusieurs expressions de la limite d’une même suite. Ceci
permettra d’établir des équations dont ces limites sont solutions en invoquant le
théorème d’unicité de la limite : toutes les expressions obtenues pour la limite d’une
suite donnée sont nécessairement égales.
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Partie 2 • Analyse
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On suppose que la suite de terme général sin(n) est convergente de limite .
1. En considérant la suite de terme général sin(n + 1) , montrer que la suite de
terme général cos(n) est convergente. On note sa limite.
2. À l’aide de formules de trigonométrie exprimer de différentes manières les
limites des suites (sin(2n)) n∈N et (cos(2n)) n∈N à l’aide de et . En déduire les
valeurs possibles de , puis montrer que = 0 et = 1.
3. Conclure.
Comme l’indique le titre nous allons démontrer que la suite de terme général sin(n)
est divergente. L’énoncé commençant par « supposons que cette suite converge », il
s’agit en fait d’une démonstration par l’absurde.
Il est ici question de suites extraites (ou sous-suites). La propriété fondamentale est
la suivante : toute suite extraite d’une suite convergente est convergente de même
limite. C’est ce théorème qui servira à calculer les limites de sin(n + 1) , sin(2n) et
cos(2n) quand n tend vers +∞ en fonction de celles de sin(n) et cos(n).
1. La formule de trigonométrie
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
est évidemment à utiliser : on vous demande en effet de faire le lien entre sin(n) ,
cos(n) et sin(n + 1) , il suffit donc d’utiliser cette relation avec a = n et b = 1.
On a, pour tout entier naturel n, sin(n + 1) = sin(n)cos(1) + cos(n)sin(1)
d’où, sin(1) étant non nul :
cos(n) =
sin(n + 1) − sin(n) cos(1)
sin(1)
.
Or sin(n) →
n→∞
, donc sin(n + 1) →
n→∞
et il vient cos(n) →
n→∞
1 − cos(1)
sin(1)
.
2. Rappelons les formules de trigonométrie reliant sin(2n) et cos(2n) à sin(n) et
cos(n) :
sin(2n) = 2 sin(n) cos(n) et cos(2n) = 2 cos
2
(n) − 1 = 1 − 2 sin
2
(n).
On demande d’établir plusieurs expressions de la limite d’une même suite. Ceci
permettra d’établir des équations dont ces limites sont solutions en invoquant le
théorème d’unicité de la limite : toutes les expressions obtenues pour la limite d’une
suite donnée sont nécessairement égales.
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Partie 2 • Analyse
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