(sin(2n)) n∈N est une sous-suite de (sin(n)) n∈N . Elle a donc la même
limite .
D’autre part, on a pour tout n ∈ N : sin(2n) = 2 sin(n) cos(n) ; on en
déduit lim
n→∞
sin(2n) = 2
.
La limite d’une suite convergente étant unique, on a donc = 2 .
De même, (cos(2n)) n∈N est une sous-suite de (cos(n)) n∈N et tend donc
également vers .
D’autre part, la relation cos(2n) = 2cos 2 (n) − 1 montre que lim
n→∞
cos(2n)
= 2 2 − 1 et l’unicité de la limite donne = 2 2 − 1.
Si on avait plutôt utilisé la relation cos(2n) = 1 − 2sin
2
(n) on aurait
obtenu = 1 − 2 2 .
À ce stade on ne connaît ni ni . Pour déterminer nous allons utiliser la seule
des trois relations précédentes qui ne fait pas intervenir .
Nous venons de voir que = 2 2 − 1 : est donc racine de l’équation
2z 2 − z − 1 = 0. Un calcul simple montre que ses racines sont −1/2 et 1,
donc ∈ {−1/2,1}.
Déterminons les valeurs possibles de en utilisant la relation = 2 . Si
= 1, on a alors = 2, soit = 0. Si = −1/2, il vient = − et
encore une fois = 0. Ainsi, on a = 0.
La dernière relation, = 1 − 2 2 , montre alors que = 1.
On aurait pu procéder autrement en partant de = 1 − 2 2 pour calculer sachant
que ∈ {−1/2,1} mais cela n’aurait pas permis de conclure immédiatement. En
effet, si = −1/2 , on en déduit 2 = 3/4 et, si = 1, 2 = 0, d’où
∈ {−
√
3/2,0,
√
3/2}. Il faut alors de toutes façons considérer la relation = 2
pour conclure que = 0.
3. Chacune des deux premières questions permettait d’établir des relations entre
et ou de déterminer les valeurs éventuelles qu’elles pouvaient prendre ; il n’y a
plus qu’à comparer ces résultats pour constater qu’ils sont incompatibles, ce qui
achèvera la démonstration par l’absurde.
Reprenons la première question :
=
1 − cos(1)
sin(1)
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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limite .
D’autre part, on a pour tout n ∈ N : sin(2n) = 2 sin(n) cos(n) ; on en
déduit lim
n→∞
sin(2n) = 2
.
La limite d’une suite convergente étant unique, on a donc = 2 .
De même, (cos(2n)) n∈N est une sous-suite de (cos(n)) n∈N et tend donc
également vers .
D’autre part, la relation cos(2n) = 2cos 2 (n) − 1 montre que lim
n→∞
cos(2n)
= 2 2 − 1 et l’unicité de la limite donne = 2 2 − 1.
Si on avait plutôt utilisé la relation cos(2n) = 1 − 2sin
2
(n) on aurait
obtenu = 1 − 2 2 .
À ce stade on ne connaît ni ni . Pour déterminer nous allons utiliser la seule
des trois relations précédentes qui ne fait pas intervenir .
Nous venons de voir que = 2 2 − 1 : est donc racine de l’équation
2z 2 − z − 1 = 0. Un calcul simple montre que ses racines sont −1/2 et 1,
donc ∈ {−1/2,1}.
Déterminons les valeurs possibles de en utilisant la relation = 2 . Si
= 1, on a alors = 2, soit = 0. Si = −1/2, il vient = − et
encore une fois = 0. Ainsi, on a = 0.
La dernière relation, = 1 − 2 2 , montre alors que = 1.
On aurait pu procéder autrement en partant de = 1 − 2 2 pour calculer sachant
que ∈ {−1/2,1} mais cela n’aurait pas permis de conclure immédiatement. En
effet, si = −1/2 , on en déduit 2 = 3/4 et, si = 1, 2 = 0, d’où
∈ {−
√
3/2,0,
√
3/2}. Il faut alors de toutes façons considérer la relation = 2
pour conclure que = 0.
3. Chacune des deux premières questions permettait d’établir des relations entre
et ou de déterminer les valeurs éventuelles qu’elles pouvaient prendre ; il n’y a
plus qu’à comparer ces résultats pour constater qu’ils sont incompatibles, ce qui
achèvera la démonstration par l’absurde.
Reprenons la première question :
=
1 − cos(1)
sin(1)
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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