Avec la deuxième question, on a = 0 et = 1. En remplaçant ces valeurs
dans la première relation il vient 1 = 0, ce qui est absurde.
Nous avons donc démontré par l’absurde que la suite de terme général sin(n)
est divergente.
Exercice 5.8 : Critère de comparaison logarithmique
Soit (u n ) n∈N une suite réelle à terme strictements positifs. On suppose :
u n+1
u n
→
n→∞
∈ [0,1[.
1. Montrer qu’il existe un entier naturel N tel que, pour tout entier n N,
u n+1
+ 1
2
u n .
2. En déduire que lim
n→∞
u n = 0.
3. Applications : étant donnés deux réels α > 0 et a > 1 déterminer lim
n→∞
n α
a n ,
lim
n→∞
a n
n!
et lim
n→∞
n!
n n .
Cet exercice fournit un outil simple pour déterminer des limites de formes indéterminées telles que celles présentées dans la dernière question. Ce type d’argument
sera utilisé couramment en deuxième année dans le cadre des séries entières.
1. L’énoncé de cette première question rappelle fortement la définition rigoureuse
de la limite « avec ε ». Il s’agira donc de l’appliquer judicieusement à la suite de
terme général
u n+1
u n
.
Ce type de raisonnement étant nouveau on commencera la résolution par une discussion partant du résultat afin de « deviner » l’argument de départ.
Un tel procédé peut s’avérer utile mais n’est évidemment pas rigoureux : il a donc
sa place au brouillon et la copie devra comporter la rédaction propre et rigoureuse
partant des hypothèses de la question pour arriver à la conclusion.
Rappelons la définition de la limite sur l’exemple donné : étant donné un réel ε > 0
quelconque, il existe un entier naturel N tel que, pour tout entier n N, on a
u n+1
u n
−
ε.
Cette dernière inégalité peut se traduire par l’encadrement −ε
u n+1
u n
− ε ou
encore, en ajoutant à chaque membre, − ε
u n+1
u n
+ ε. Pour obtenir une
inégalité de la forme demandée, il suffirait d’avoir + ε =
+ 1
2
, soit ε =
1 −
2
.
106
Partie 2 • Analyse
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dans la première relation il vient 1 = 0, ce qui est absurde.
Nous avons donc démontré par l’absurde que la suite de terme général sin(n)
est divergente.
Exercice 5.8 : Critère de comparaison logarithmique
Soit (u n ) n∈N une suite réelle à terme strictements positifs. On suppose :
u n+1
u n
→
n→∞
∈ [0,1[.
1. Montrer qu’il existe un entier naturel N tel que, pour tout entier n N,
u n+1
+ 1
2
u n .
2. En déduire que lim
n→∞
u n = 0.
3. Applications : étant donnés deux réels α > 0 et a > 1 déterminer lim
n→∞
n α
a n ,
lim
n→∞
a n
n!
et lim
n→∞
n!
n n .
Cet exercice fournit un outil simple pour déterminer des limites de formes indéterminées telles que celles présentées dans la dernière question. Ce type d’argument
sera utilisé couramment en deuxième année dans le cadre des séries entières.
1. L’énoncé de cette première question rappelle fortement la définition rigoureuse
de la limite « avec ε ». Il s’agira donc de l’appliquer judicieusement à la suite de
terme général
u n+1
u n
.
Ce type de raisonnement étant nouveau on commencera la résolution par une discussion partant du résultat afin de « deviner » l’argument de départ.
Un tel procédé peut s’avérer utile mais n’est évidemment pas rigoureux : il a donc
sa place au brouillon et la copie devra comporter la rédaction propre et rigoureuse
partant des hypothèses de la question pour arriver à la conclusion.
Rappelons la définition de la limite sur l’exemple donné : étant donné un réel ε > 0
quelconque, il existe un entier naturel N tel que, pour tout entier n N, on a
u n+1
u n
−
ε.
Cette dernière inégalité peut se traduire par l’encadrement −ε
u n+1
u n
− ε ou
encore, en ajoutant à chaque membre, − ε
u n+1
u n
+ ε. Pour obtenir une
inégalité de la forme demandée, il suffirait d’avoir + ε =
+ 1
2
, soit ε =
1 −
2
.
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Partie 2 • Analyse
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