Ainsi, il suffit de considérer la définition de la limite, appliquée à la situation présente, pour une valeur particulière de ε.
Nous pouvons maintenant effectuer une rédaction rigoureuse.
Considérons le réel ε =
1 −
2
. ε > 0 (car < 1) donc il existe un entier
naturel N tel que, pour tout entier n N,
u n+1
u n
−
ε.
Ceci peut également s’écrire : pour tout entier n N,
− ε
u n+1
u n
+ ε, d’où
u n+1
u n
+ ε =
+ 1
2
. Comme u n > 0 on en
déduit que, pour tout entier n N, u n+1
+ 1
2
u n .
2. Si on avait u n+1 =
+ 1
2
u n , la suite (u n ) n∈N serait géométrique de raison strictement inférieure à 1 en valeur absolue donc convergente de limite nulle.
Nous allons essayer de nous ramener à ce type d’argument en faisant apparaître une
suite géométrique.
Par une récurrence immédiate on a :
pour tout entier n N , u n
+ 1
2
n−N
u N .
Or 0 <
+ 1
2
< 1 (car ∈ [0,1[) donc
lim
n→∞
+ 1
2
n−N
= 0.
Comme d’autre part on a u n > 0 par hypothèse le théorème d’encadrement
montre que lim
n→∞
u n = 0.
3. Rien de particulier à signaler : il n’est ici demandé que d’appliquer le résultat précédent à des exemples explicites.
• Posons u n =
n α
a n > 0. Alors
u n+1
u n
=
1
a
1 +
1
n
α
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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