qui tend vers
1
a
< 1 quand n tend vers +∞ : on a donc
lim
n→∞
n α
a n = 0.
• Posons v n =
a n
n!
> 0. Alors
v n+1
v n
=
a
n + 1
qui tend vers 0 < 1 quand n tend vers +∞ donc lim
n→∞
v n = 0.
• Enfin, posons w n =
n!
n n . Alors
w n+1 =
(n + 1)!
(n + 1) n+1 .
En simplifiant numérateur et dénominateur par n + 1 on obtient
w n+1 =
n!
(n + 1) n
d’où
w n+1
w n
=
1 +
1
n
−n
.
Or
1 +
1
n
−n
= exp
−n ln
1 +
1
n
.
On reconnaît un taux d’accroissement :
n ln
1 +
1
n
=
ln(1 + 1/n) − ln(1)
1/n
qui tend vers ln
(1) = 1 quand n tend vers +∞, ce qui donne
lim
n→∞
w n+1
w n
=
1
e
.
Enfin
1
e
< 1: on a donc lim
n→∞
w n = 0.
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Partie 2 • Analyse
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