Cette dernière situation n’a rien à voir avec celle rencontrée dans le calcul de
lim
n→∞
u n+1
u n
.
• Dans le cas de u n : on obtenait le quotient
1 +
1
n
α
où α est une constante,
i.e. ne dépend pas de n. La limite de cette expression est alors bien 1 d’après les
théorèmes du cours déjà rencontrés au lycée.
• Dans le cas de w n : on a affaire au quotient
1 +
1
n
−n
: l’exposant dépend
de n. Dans ce cas, aucun théorème usuel ne s’applique directement. Il faut revenir aux exponentielles et logarithmes pour pouvoir conclure.
Exercice 5.9 : Critère spécial des séries alternées
1. Soit (u n ) n∈N une suite réelle. On suppose qu’il existe un nombre réel tel que
u 2n →
n→∞
et u 2n+1 →
n→∞
. Montrer que u n →
n→∞
.
2. Soit (a n ) n∈N une suite réelle décroissante tendant vers 0. Pour n ∈ N on pose :
u n =
n
k=0
(−1)
k a k .
Montrer que (u 2n ) n∈N et (u 2n+1 ) n∈N sont adjacentes, puis que (u n ) n∈N est convergente.
Dans la première question, aucune hypothèse n’est faite sur (u n ) n∈N : aucun des
théorèmes classiques (encadrement, limite monotone, suites adjacentes) ne peut
s’appliquer. Il va donc falloir revenir à la définition de la limite.
Autrement dit, nous allons démontrer que, pour tout réel ε > 0, il existe un entier
naturel N tel que, pour tout entier n N, |u n − | ε.
Pour déterminer, à ε ∈ R ∗
+ donné, un tel entier N, il faudra commencer par écrire
les hypothèses, i.e. la définition de la limite pour les suites de termes généraux u 2n
et u 2n+1 . Nous aurons alors toutes les données pour conclure.
Comparée à cette première question technique, la deuxième question est sans difficulté : la première partie (montrer que deux suites sont adjacentes) est une vérification d’une définition du cours et la conclusion sera visiblement une application de
la question précédente.
1. Fixons un nombre réel ε > 0.
Nous voulons démontrer qu’il existe un entier naturel N tel que, pour tout entier
n N, |u n − | ε.
Comme la suite (u 2n ) n∈N tend vers nous savons qu’il existe un entier naturel n 0
tel que, pour tout entier n n 0 , |u 2n − | ε.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
109
Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
9782100547678-Fresl-C5.qxd 5/07/10 9:16 Page 109
lim
n→∞
u n+1
u n
.
• Dans le cas de u n : on obtenait le quotient
1 +
1
n
α
où α est une constante,
i.e. ne dépend pas de n. La limite de cette expression est alors bien 1 d’après les
théorèmes du cours déjà rencontrés au lycée.
• Dans le cas de w n : on a affaire au quotient
1 +
1
n
−n
: l’exposant dépend
de n. Dans ce cas, aucun théorème usuel ne s’applique directement. Il faut revenir aux exponentielles et logarithmes pour pouvoir conclure.
Exercice 5.9 : Critère spécial des séries alternées
1. Soit (u n ) n∈N une suite réelle. On suppose qu’il existe un nombre réel tel que
u 2n →
n→∞
et u 2n+1 →
n→∞
. Montrer que u n →
n→∞
.
2. Soit (a n ) n∈N une suite réelle décroissante tendant vers 0. Pour n ∈ N on pose :
u n =
n
k=0
(−1)
k a k .
Montrer que (u 2n ) n∈N et (u 2n+1 ) n∈N sont adjacentes, puis que (u n ) n∈N est convergente.
Dans la première question, aucune hypothèse n’est faite sur (u n ) n∈N : aucun des
théorèmes classiques (encadrement, limite monotone, suites adjacentes) ne peut
s’appliquer. Il va donc falloir revenir à la définition de la limite.
Autrement dit, nous allons démontrer que, pour tout réel ε > 0, il existe un entier
naturel N tel que, pour tout entier n N, |u n − | ε.
Pour déterminer, à ε ∈ R ∗
+ donné, un tel entier N, il faudra commencer par écrire
les hypothèses, i.e. la définition de la limite pour les suites de termes généraux u 2n
et u 2n+1 . Nous aurons alors toutes les données pour conclure.
Comparée à cette première question technique, la deuxième question est sans difficulté : la première partie (montrer que deux suites sont adjacentes) est une vérification d’une définition du cours et la conclusion sera visiblement une application de
la question précédente.
1. Fixons un nombre réel ε > 0.
Nous voulons démontrer qu’il existe un entier naturel N tel que, pour tout entier
n N, |u n − | ε.
Comme la suite (u 2n ) n∈N tend vers nous savons qu’il existe un entier naturel n 0
tel que, pour tout entier n n 0 , |u 2n − | ε.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
109
Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
9782100547678-Fresl-C5.qxd 5/07/10 9:16 Page 109