Ceci peut s’écrire de manière légèrement différente : pour tout entier pair p 2n 0 ,
|u p − | ε. Ainsi écrite, cette inégalité est de la forme souhaitée car elle fait intervenir |u p − |.
D’autre part, on sait également que la suite (u 2n+1 ) n∈N tend vers . Ainsi, il existe
un entier naturel n 1 tel que, pour tout entier n n 1 , |u 2n+1 − | ε .
Comme précédemment nous pouvons reformuler ceci : pour tout entier impair
p 2n 1 + 1, |u p − | ε.
On a donc deux inégalités du type souhaité ; la première est valable pour les entiers
pairs supérieurs ou égaux à 2n 0 et la seconde pour les entiers impairs supérieurs ou
égaux à 2n 1 + 1.
Il nous faut déterminer un entier naturel N tel que cette inégalité soit vraie pour tous
les entiers supérieurs ou égaux à N, quelle que soit leur parité. Pour cela, il suffit de
choisir un entier N qui soit à la fois supérieur ou égal à 2n 0 et à 2n 1 + 1. Par
exemple, on pourra prendre N = max(2n 0 ,2n 1 + 1).
Soit ε ∈ R ∗
+ .
Comme lim
n→∞
u 2n = il existe un entier naturel n 0 tel que, pour tout entier
n n 0 , |u 2n − | ε ou encore :
pour tout entier pair p 2n 0 ,|u p − | ε.
De même, lim
n→∞
u 2n+1 = donc il existe un entier naturel n 1 tel que, pour
tout entier n n 1 , |u 2n+1 − | ε ou encore :
pour tout entier impair p 2n 1 + 1,|u p − | ε.
Posons N = max(2n 0 ,2n 1 + 1). Alors, si n est un entier N, deux cas se
présentent :
• si n est pair, n est un entier pair N 2n 0 donc |u n − | ε d’après
la première inégalité ;
• si n est impair, n est un entier impair N 2n 1 + 1 donc |u n − | ε
d’après la seconde inégalité.
Ainsi : pour tout entier n N on a |u n − | ε.
En conclusion, nous avons montré que, quel que soit le réel ε > 0, il existe
un certain entier naturel N tel que, pour tout entier n N, |u n − | ε.
Ceci signifie exactement, par définition, que u n tend vers quand n tend
vers +∞.
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Partie 2 • Analyse
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