2. Montrer que ces deux suites sont adjacentes est routinier : comme elles sont définies par des sommes on évaluera les différences de termes successifs pour étudier
leur monotonie.
̈ Étude de la monotonie de (u 2n ) n∈N
Le terme d’indice n + 1 de (u 2n ) n∈N est u 2(n+1) , i.e. u 2n+2 . Il faut prendre garde
à ne pas se tromper d’indice : c’est l’entier n dans l’expression de u 2n qu’il faut
remplacer par n + 1.
On a :
u 2n+2 − u 2n =
2n+2
k=0
(−1)
k a k −
2n
k=0
(−1)
k a k .
Tous les termes de la première somme se simplifient avec un terme de la seconde
sauf les deux derniers, i.e. (−1) 2n+1 a 2n+1 et (−1) 2n+2 a 2n+2 .
Enfin, n’oublions pas que (−1) p = 1 si p est pair et −1 si p est impair. En l’occurence, les deux termes dont il est question ci-dessus sont respectivement −a 2n+1 et
a 2n+2 .
Pour tout n ∈ N, u 2n+2 − u 2n = a 2n+2 − a 2n+1 qui est négatif car la suite
(a n ) n∈N est décroissante.
Ainsi, (u 2n ) n∈N est décroissante.
̈ Étude de la monotonie de (u 2n+1 ) n∈N
Même remarque : le terme d’indice n + 1 de (u 2n+1 ) n∈N . est u 2(n+1)+1 = u 2n+3 .
Dans la différence u 2n+3 − u 2n+1 les termes restants sont (−1) 2n+2 a 2n+2 = a 2n+2
et (−1) 2n+3 a 2n+3 = −a 2n+3 .
Pour tout n ∈ N, u 2n+3 − u 2n+1 = a 2n+2 − a 2n+3 qui est positif car la
suite (a n ) n∈N est décroissante.
Ainsi, (u 2n+1 ) n∈N est croissante.
• Enfin, il faut montrer que lim
n→∞
u 2n+1 − u 2n = 0.
Cette différence est
2n+1
k=0
(−1)
k a k −
2n
k=0
(−1)
k a k .
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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