Dans cette expression, tous les termes des sommes se simplifient sauf le dernier de
la première somme, (−1) 2n+1 a 2n+1 , qui est égal à −a 2n+1 car 2n + 1 est impair.
Pour tout n ∈ N, u 2n+1 − u 2n = −a 2n+1 . Or lim
n→∞
a n = 0 donc
lim
n→∞
(u 2n+1 − u 2n ) = 0 .
Ainsi, les suites (u 2n ) n∈N et (u 2n+1 ) n∈N sont adjacentes.
La première partie de la question est résolue. Notons que toutes les hypothèses
((a n ) n∈N décroissante et de limite nulle) ont bien été utilisées.
Il reste à utiliser le résultat de la première question.
Les suites (u 2n ) n∈N et (u 2n+1 ) n∈N étant adjacentes elles sont convergentes
de même limite.
D’après la première question, (u n ) n∈N est convergente.
112
Partie 2 • Analyse
Ceci montre en particulier la convergence des suites très classiques de termes
généraux
n
k=0
(−1) k
k + 1
,
n
k=0
(−1) k
k!
,
n
k=1
(−1) k
k 2 …
La valeur exacte de la limite de telles suites peut être difficile voire impossible à
calculer mais dans certains cas favorables l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à une fonction bien choisie permet de conclure.
Les séries entières et les séries de Fourier, au programme de deuxième année, permettent également parfois de déterminer certaines de ces valeurs.
Exercice 5.10 : Suite récurrente
Cet exercice utilise des résultats du cours sur les fonctions : continuité et dérivabilité.
Soit (u n ) n∈N une suite réelle vérifiant :
∀n ∈ N, u n+1 =
1
2
cos(u n ).
1. Démontrer qu’il existe un unique réel tel que =
1
2
cos((). Montrer que
∈ [0,1].
2. Montrer que u n tend vers quand n tend vers +∞.
Cet exercice est très classique. À terme vous devrez être capable de résoudre ce type
de problème sans indication.
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