1. Le théorème dédié à ce type de résultat est le théorème des valeurs intermédiaires
que nous allons appliquer à la fonction x →
1
2
cos(x) − x.
Plus précisément, il y a deux choses à montrer :
• dans un premier temps, l’étude de cette fonction sur R montrera l’existence et
l’unicité de ;
• dans un deuxième temps, nous affinerons le résultat en montrant que ∈ [0,1] en
appliquant à nouveau le théorème des valeurs intermédiaires sur ce segment.
• Pour x ∈ R posons f (x) =
1
2
cos(x) − x.
f est dérivable sur R et, pour tout réel x, f
(x) = −
1
2
sin(x) − 1 .
Comme |sin| 1, f est strictement négative sur R : f est donc strictement
décroissante.
De plus, cos est bornée sur R donc
lim
x→+∞
f (x) = −∞ et
lim
x→−∞
f (x) = +∞.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, f s’annule donc au moins une
fois.
f étant strictement décroissante, elle ne peut s’annuler plus d’une fois : il
existe donc un unique réel tel que f (() = 0.
• De plus, f (0) =
1
2
> 0 et f (1) =
1
2
cos(1) − 1 < 0 : f s’annule donc en
un point de [0,1].
Vu que est l’unique réel tel que f (() = 0 on a donc ∈ [0,1].
2. Nous allons déterminer une majoration explicite de |u n − | en appliquant
l’inégalité des accroissements finis à une fonction bien choisie.
La relation u n+1 =
1
2
cos(u n ) peut s’écrire u n+1 = g(u n ) où g est la fonction définie pour x réel par g(x) =
1
2
cos(x) .
On a alors, de plus, g(() = . Ainsi, nous pouvons établir une relation entre
|u n+1 − | et |u n − | :
|u n+1 − | = |g(u n ) − g(()| M |u n − |
où M est un majorant de |g | sur R, par exemple
1
2
.
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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