On voit alors qu’une récurrence permettra de montrer que |u n − |
1
2 n |u 0 − |.
Pour x ∈ R posons g(x) =
1
2
cos(x) . La suite de terme général u n vérifie
donc la relation de récurrence :
∀n ∈ N,u n+1 = g(u n ).
De plus, par définition de : g(() = .
Enfin, g est dérivable et, pour tout réel x, |g
(x)|
1
2
.
Pour n ∈ N posons H n : « |u n − |
1
2 n |u 0 − | ».
• H 0 est clairement vraie.
• Soit n ∈ N tel que H n est vraie.
Alors :
|u n+1 − | = |g(u n ) − g(()|
g étant majorée en valeur absolue par
1
2
on en déduit, d’après l’inégalité
des accroissements finis :
|g(u n ) − g(()|
1
2
|u n − |
et enfin, en utilisant H n , il vient
|u n+1 − |
1
2 n+1 |u 0 − |
donc H n+1 est vraie.
• Ainsi, d’après le principe de récurrence, H n est vraie pour tout n ∈ N.
Ceci montre, en particulier, que u n tend vers quand n tend vers +∞.
En fait, nous avons même obtenu une majoration explicite de la distance entre u n
et .
Par exemple, si u 0 = 1, on a |u 0 − | 1 ; en prenant n = 10, on a
2 10 = 1024 > 1000 d’où |u 10 − | < 0,001.
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Partie 2 • Analyse
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