Exercice 5.11 : Étude d’une suite définie implicitement
Cet exercice nécessite le cours sur les fonctions, les développements limités et les
équivalents.
1. Soit n ∈ N. Montrer qu’il existe un unique réel x n ∈]nπ − π/2,nπ + π/2[ tel
que x n = tan(x n ) . Montrer que x n ∼ nπ.
2. Déterminer = lim
n→∞
(x n − nπ) . On pourra introduire la fonction arctangente.
3. Déterminer un équivalent simple de x n − (nπ + ).
Une telle suite est dite définie implicitement car sa définition n’a rien d’explicite :
on n’a aucune formule permettant de calculer x n en fonction de n ni même de relation de récurrence pour calculer les termes de proche en proche.
Il n’y a pas de méthode générale au programme pour étudier ce type de suite ; il faut
se contenter de suivre la démarche proposée par les questions de l’énoncé. En général on n’obtiendra pas d’expression exacte de x n mais uniquement un équivalent ou
un développement asymptotique.
Ceci se fait généralement en utilisant tout le cours d’analyse et notamment les développements limités et équivalents usuels : ces exercices sont donc plus difficiles car
ils mobilisent plus de connaissances. Ils sont aussi plus intéressants pour vérifier
que l’on a bien acquis toutes les notions du programme.
1. Il s’agit de montrer l’existence et l’unicité d’un réel appartenant à un intervalle et
vérifiant une certaine équation : la bonne démarche est d’étudier une fonction bien
choisie.
On peut écrire la relation x n = tan(x n ) sous la forme tan(x n ) − x n = 0 . La question
devient alors : montrer que l’application x → tan(x) − x s’annule une unique fois
sur l’intervalle ]nπ − π/2,nπ + π/2[ .
Graphiquement :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
115
Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
π
π
2
π
2
3
π
2
5
π
2
x 1
x 2
9782100547678-Fresl-C5.qxd 5/07/10 9:16 Page 115
Cet exercice nécessite le cours sur les fonctions, les développements limités et les
équivalents.
1. Soit n ∈ N. Montrer qu’il existe un unique réel x n ∈]nπ − π/2,nπ + π/2[ tel
que x n = tan(x n ) . Montrer que x n ∼ nπ.
2. Déterminer = lim
n→∞
(x n − nπ) . On pourra introduire la fonction arctangente.
3. Déterminer un équivalent simple de x n − (nπ + ).
Une telle suite est dite définie implicitement car sa définition n’a rien d’explicite :
on n’a aucune formule permettant de calculer x n en fonction de n ni même de relation de récurrence pour calculer les termes de proche en proche.
Il n’y a pas de méthode générale au programme pour étudier ce type de suite ; il faut
se contenter de suivre la démarche proposée par les questions de l’énoncé. En général on n’obtiendra pas d’expression exacte de x n mais uniquement un équivalent ou
un développement asymptotique.
Ceci se fait généralement en utilisant tout le cours d’analyse et notamment les développements limités et équivalents usuels : ces exercices sont donc plus difficiles car
ils mobilisent plus de connaissances. Ils sont aussi plus intéressants pour vérifier
que l’on a bien acquis toutes les notions du programme.
1. Il s’agit de montrer l’existence et l’unicité d’un réel appartenant à un intervalle et
vérifiant une certaine équation : la bonne démarche est d’étudier une fonction bien
choisie.
On peut écrire la relation x n = tan(x n ) sous la forme tan(x n ) − x n = 0 . La question
devient alors : montrer que l’application x → tan(x) − x s’annule une unique fois
sur l’intervalle ]nπ − π/2,nπ + π/2[ .
Graphiquement :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
115
Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
π
π
2
π
2
3
π
2
5
π
2
x 1
x 2
9782100547678-Fresl-C5.qxd 5/07/10 9:16 Page 115