Soit f : ]nπ − π/2,nπ + π/2[→ R, x → tan(x) − x .
f est continue sur l’intervalle ]nπ − π/2,nπ + π/2[ . De plus,
lim
x→nπ−π/2
f (x) = −∞ et
lim
x→nπ+π/2
f (x) = +∞ : d’après le théorème
des valeurs intermédiaires, f s’annule donc au moins une fois sur
]nπ − π/2,nπ + π/2[ .
D’autre part, f est dérivable et, pour tout x ∈]nπ − π/2,nπ + π/2[,
f (x) = tan 2 (x). f est donc positive et ne s’annule qu’en un seul point
(nπ) : f est donc strictement croissante et ne s’annule ainsi qu’au plus une
fois.
En résumé : il existe un unique réel x n ∈]nπ − π/2,nπ + π/2[ tel que
f (x n ) = 0, i.e. tel que x n = tan(x n ) .
Il est en général difficile de deviner un équivalent d’une telle suite. Cependant,
l’énoncé donne ici le résultat : nous allons donc simplement vérifier qu’il est correct en montrant que le quotient
x n
nπ
tend vers 1.
Par définition on a nπ − π/2 x n nπ + π/2 d’où, pour n 1 :
1 −
1
2n
x n
nπ
1 +
1
2n
.
D’après le théorème d’encadrement on a donc
lim
n→∞
x n
nπ
= 1
soit encore
x n ∼ nπ.
Bien sûr ceci est un peu frustrant : comment aurions-nous trouvé cet équivalent si
l’énoncé ne l’avait pas donné ?
Ceci peut se faire de manière qualitative : la notion d’équivalent en mathématiques
sert à traduire rigoureusement la notion de « suites du même ordre de grandeur ».
Comme nπ − π/2 < x n < nπ + π/2 on « voit » que, quand n est grand, x n est « de
l’ordre » de nπ.
Ceci n’a rien de rigoureux mais fournit une idée du résultat qu’on peut ensuite simplement vérifier comme cela a été fait ci-dessus.
2. L’unique difficulté dans la manipulation des fonctions circulaires réciproques
concerne leur ensemble de définition et d’arrivée.
116
Partie 2 • Analyse
9782100547678-Fresl-C5.qxd 5/07/10 9:16 Page 116
f est continue sur l’intervalle ]nπ − π/2,nπ + π/2[ . De plus,
lim
x→nπ−π/2
f (x) = −∞ et
lim
x→nπ+π/2
f (x) = +∞ : d’après le théorème
des valeurs intermédiaires, f s’annule donc au moins une fois sur
]nπ − π/2,nπ + π/2[ .
D’autre part, f est dérivable et, pour tout x ∈]nπ − π/2,nπ + π/2[,
f (x) = tan 2 (x). f est donc positive et ne s’annule qu’en un seul point
(nπ) : f est donc strictement croissante et ne s’annule ainsi qu’au plus une
fois.
En résumé : il existe un unique réel x n ∈]nπ − π/2,nπ + π/2[ tel que
f (x n ) = 0, i.e. tel que x n = tan(x n ) .
Il est en général difficile de deviner un équivalent d’une telle suite. Cependant,
l’énoncé donne ici le résultat : nous allons donc simplement vérifier qu’il est correct en montrant que le quotient
x n
nπ
tend vers 1.
Par définition on a nπ − π/2 x n nπ + π/2 d’où, pour n 1 :
1 −
1
2n
x n
nπ
1 +
1
2n
.
D’après le théorème d’encadrement on a donc
lim
n→∞
x n
nπ
= 1
soit encore
x n ∼ nπ.
Bien sûr ceci est un peu frustrant : comment aurions-nous trouvé cet équivalent si
l’énoncé ne l’avait pas donné ?
Ceci peut se faire de manière qualitative : la notion d’équivalent en mathématiques
sert à traduire rigoureusement la notion de « suites du même ordre de grandeur ».
Comme nπ − π/2 < x n < nπ + π/2 on « voit » que, quand n est grand, x n est « de
l’ordre » de nπ.
Ceci n’a rien de rigoureux mais fournit une idée du résultat qu’on peut ensuite simplement vérifier comme cela a été fait ci-dessus.
2. L’unique difficulté dans la manipulation des fonctions circulaires réciproques
concerne leur ensemble de définition et d’arrivée.
116
Partie 2 • Analyse
9782100547678-Fresl-C5.qxd 5/07/10 9:16 Page 116