Concernant l’arctangente rappelons que, si x est un réel, Arctan(x) est par définition l’unique réel appartenant à ] − π/2,π/2[ dont la tangente est x.
En particulier, Arctan(tan(θ)) n’est pas forcément égal à θ : c’est le réel
ϕ ∈] − π/2,π/2[ vérifiant tan(ϕ) = tan(θ), on a donc seulement ϕ = θ + kπ pour
un certain entier relatif k.
Enfin, il est simple de faire apparaître x n − nπ : la fonction tangente étant π-périodique
et n entier on a tan(x n ) = tan(x n − nπ).
On a tan(x n − nπ) = tan(x n ) = x n .
De plus, x n − nπ ∈] − π/2,π/2[ donc, par définition de la fonction arctangente : x n − nπ = Arctan(x n ) .
Comme x n ∼ nπ, lim
n→∞
x n = +∞ donc lim
n→∞
Arctan(x n ) = π/2 , d’où
= π/2.
3. Dans la question précédente nous avons utilisé une propriété de la fonction tangente pour faire apparaître x n − nπ et obtenir l’égalité tan(x n − nπ) = tan(x n ).
On peut utiliser une autre propriété de cette fonction pour faire apparaître
x n − nπ − π/2 : tan(π/2 − θ) =
1
tan(θ)
donc également, en utilisant le fait que la
tangente est impaire, tan(θ − π/2) = −
1
tan(θ)
.
Avec θ = x n − nπ on obtient une expression de tan(x n − (nπ + π/2)) en fonction
de tan(x n − nπ) = tan(x n ) = x n . Il n’y a plus alors qu’à injecter dans cette relation
les résultats précédemment obtenus sur x n .
En raisonnant comme précédemment on a :
x n = tan(x n )
= tan(x n − nπ)
= −
1
tan(x n − (nπ + π/2))
.
On en déduit
tan(x n − (nπ + π/2)) = −
1
x n
.
Comme tan(h) est équivalent à h quand h tend vers 0 et
lim
n→∞
(x n − (nπ + π/2)) = 0 on a
tan(x n − (nπ + π/2)) ∼ (x n − (nπ + π/2)).
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Chapitre 5 • Nombres réels, Suites
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