D’autre part, x n ∼ nπ donc
−
1
x n
∼ −
1
nπ
.
On en déduit :
(x n − (nπ + π/2)) ∼ −
1
nπ
.
Avec les notations de Landau ceci s’écrit également
x n = nπ + π/2 −
1
nπ
+ o(
1
n
).
Si l’on connaît la formule (hors-programme mais exercice classique)
Arctan(u) + Arctan(1/u) = π/2 pour u > 0 on peut également traiter cette dernière question de la manière suivante :
x n − (nπ + π/2) = Arctan(x n ) − π/2
= −Arctan(1/x n ).
Or Arctan(h) est équivalent à h quand h tend vers 0 et lim
n→∞
1/x n = 0 donc
− Arctan(1/x n ) ∼ −
1
x n
∼ −
1
nπ
.
Pour démontrer la formule dont il est question, étudiez la fonction
u → Arctan(u) + Arctan(1/u) sur R ∗
+ et R ∗
− en prenant bien garde au fait qu’elle n’est pas définie en 0 ; on trouve alors qu’elle est constante égale à
π
2
sur R ∗
+ et
constante égale à −
π
2
sur R ∗
− .
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Partie 2 • Analyse
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