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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice 6.1 : Trois théorèmes de point fixe
pour des applications continues
Les trois questions sont indépendantes.
Chacune donne une condition suffisante pour qu’une application f possède un
point fixe, i.e. un élément x de son ensemble de définition tel que f (x) = x .
1. Soient S = [a,b] un segment et f une application continue de S dans luimême. Montrer qu’il existe un élément c de S tel que f (c) = c.
2. Soit f une application continue décroissante de R dans R. Montrer qu’il existe
un unique réel c tel que f (c) = c. Ce résultat reste-t-il vrai si on suppose plutôt
f croissante ?
3. Soient k ∈ [0,1[ et f une application de R dans R qui est k-lipschitzienne, i.e. :
pour tous réels x et y, | f (x) − f (y)| k|x − y|. Montrer qu’il existe un unique
réel c tel que f (c) = c.
Les fonctions introduites par l’énoncé sont continues sur un intervalle et on souhaite
démontrer l’existence d’un élément de cet intervalle vérifiant une certaine relation.
C’est la situation courante où le théorème des valeurs intermédiaires sera appliqué.
Afin de l’utiliser, on introduira une fonction auxiliaire dont les points d’annulation
seront les solutions du problème posé.
1. Pour montrer qu’il existe c ∈ S tel que f (c) = c, il suffit de montrer qu’il existe
c ∈ S tel que f (c) − c = 0. Cette remarque simple suggère la forme de la fonction
auxiliaire à laquelle appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Graphiquement, avec a = 0 et b = 2, on peut avoir l’allure suivante :
Fonctions continues
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Exercice 6.1 : Trois théorèmes de point fixe
pour des applications continues
Les trois questions sont indépendantes.
Chacune donne une condition suffisante pour qu’une application f possède un
point fixe, i.e. un élément x de son ensemble de définition tel que f (x) = x .
1. Soient S = [a,b] un segment et f une application continue de S dans luimême. Montrer qu’il existe un élément c de S tel que f (c) = c.
2. Soit f une application continue décroissante de R dans R. Montrer qu’il existe
un unique réel c tel que f (c) = c. Ce résultat reste-t-il vrai si on suppose plutôt
f croissante ?
3. Soient k ∈ [0,1[ et f une application de R dans R qui est k-lipschitzienne, i.e. :
pour tous réels x et y, | f (x) − f (y)| k|x − y|. Montrer qu’il existe un unique
réel c tel que f (c) = c.
Les fonctions introduites par l’énoncé sont continues sur un intervalle et on souhaite
démontrer l’existence d’un élément de cet intervalle vérifiant une certaine relation.
C’est la situation courante où le théorème des valeurs intermédiaires sera appliqué.
Afin de l’utiliser, on introduira une fonction auxiliaire dont les points d’annulation
seront les solutions du problème posé.
1. Pour montrer qu’il existe c ∈ S tel que f (c) = c, il suffit de montrer qu’il existe
c ∈ S tel que f (c) − c = 0. Cette remarque simple suggère la forme de la fonction
auxiliaire à laquelle appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Graphiquement, avec a = 0 et b = 2, on peut avoir l’allure suivante :
Fonctions continues
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